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Hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Krümmung

Das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion berücksichtigen

Die Wendepunkte der Ausgangsfunktion $f$ entsprechen den Hoch- und Tiefpunkten der zugehörigen Ableitungsfunktion $f^{'}$ . Wir können daher hinreichende Kriterien für Hoch- und Tiefpunkte nutzen, um entsprechende Kriterien für Wendepunkte zu gewinnen.

Das Applet zeigt eine Situation, in der im oberen Fenster die Ausgangsfunktion $f$ dargestellt ist. Im unteren Fenster ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f^{'}$ (gestrichelt) sowie der Ableitungsfunktion $f^{″}$ dargestellt.

Zum Herunterladen: hinreichendebedingungwendepunkte.ggb

Es ergeben sich die folgenden - anschaulich plausiblen - Zusammenhänge:

Eigenschaft von $f^{″}$ (hinreichende Bedingung)	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{'}$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f^{″}$ ist positiv im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f^{'}$ ist im Intervall $I$ streng monoton steigend	$\Rightarrow$	Graph $f$ beschreibt im Intervall $I$ eine Linkskurve
$f^{″}$ ist negativ im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f^{'}$ ist im Intervall $I$ streng monoton fallend	$\Rightarrow$	Graph $f$ beschreibt im Intervall $I$ eine Rechtskurve

Für Wendepunkte erhält man analog folgende Zusammenhänge.

Eigenschaft von $f^{″}$ (hinreichende Bedingung)	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{'}$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f^{″}$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel	$\Rightarrow$	$f^{'}$ hat an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt

Man erhält somit das folgende Vorzeichenwechselkriterium für Wendepunkte.

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte (Vorzeichenwechselkriterium):

Wenn $f^{″}$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.

Wenn $f^{″}$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat und zusätzlich $f^{'} (x) = 0$ gilt, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Bestimmung von Wendepunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium

Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.

geg.: $f (x) = \frac{1}{324} x^{4} - \frac{1}{27} x^{3} + \frac{1}{2} x + 2$

ges.: Wendepunkte von $f$

Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb

Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen

In Schritt 1 werden die Überlegungen aus dem letzten Abschnitt wiederholt.

Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{″}$ , denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Wendepunkt vorliegen.

Die Ableitungsfunktion $f^{″} (x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln. Es gilt:

$f^{'} (x) = \frac{1}{81} x^{3} - \frac{1}{9} x^{2} + \frac{1}{2} x$

$f^{″} (x) = \frac{1}{27} x^{2} - \frac{2}{9} x$

Zur Bestimmung der Nullstellen von $f^{″}$ muss die Bedingung $f^{″} (x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:

$f^{″} (x) = x \cdot (\frac{1}{27} x - \frac{2}{9})$

Aus dieser Produktdarstellung von $f^{″} (x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:

$f^{″} (x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $\frac{1}{27} x - \frac{2}{9} = 0$
$f^{″} (x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = 6$

Die kritischen Stellen für Wendepunkte sind demnach $x = 0$ und $x = 6$ . Ob an diesen Stellen tatsächlich Wendepunkte vorliegen, lässt sich ohne weitere Informationen nicht klären.

Schritt 2: Zwischenwerte als Testwerte nutzen

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von $f^{″}$ vorliegen.

Stelle / Intervall	$f^{″} (x)$	Vorzeichenwechsel	Eigenschaft von $f$
$- \infty < x < 0$	$f^{″} (- 3) = 1$ $f^{″} (x) > 0$		Linkskurve
$x = 0$	$f^{″} (0) = 0$	VZW	Wendepunkt
$0 < x < 6$	$f^{″} (3) = - 1 / 3$ $f^{″} (x) < 0$		Rechtskurve
$x = 6$	$f^{″} (0) = 0$	VZW	Wendepunkt
$6 < x < \infty$	$f^{″} (9) = 1$ $f^{″} (x) > 0$		Linkskurve

Schritt 3: $y$ -Koordinaten bestimmen

Man weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$ -Koordinaten dieser Punkte.

Zur Bestimmung der $y$ -Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$ -Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.

$f (0) = 2$ : Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(0 | 2)$ .

$f (6) = 1$ : Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(6 | 1)$ .

Schritt 4: Die Steigung im Wendepunkt bestimmen

Um zu entscheiden, ob die Wendepunkte Sattelpunkte sind, berechnen wir die Steigungen in den Wendepunkten.

Wendepunkt $(0 | 2)$ : Es gilt $f^{'} (0) = 1 / 2$ . Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.

Wendepunkt $(6 | 1)$ : Es gilt $f^{'} (6) \approx - 0.83$ . Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Krümmung

Das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion berücksichtigen

Bestimmung von Wendepunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium

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