Hinreichende Bedingungen für Hoch-/Tiefpunkte und Monotonie
Einen Zusammenhang erkunden
Ziel der folgenden Betrachtungen ist es, Bedingungen mit Hilfe der Ableitungsfunktion $f'$ zu formulieren, mit denen man - wenn sie erfüllt sind - auf Hoch- und Tiefpunkte der Ausgangsfunktion $f$ schließen kann.
Zur Erkundung der Bedingungen dient das folgende Applet, bei dem man den Punkt $Q$ auf Graph $f'$ bewegen kann.
Zum Herunterladen: hinreichendebedingungmonotonieextrema.ggb
Aufgabe 1
In der Tabelle sollen passende Bedingungen an $f'$ eingetragen werden, so dass die jeweiligen Folgerungsaussagen korrekt sind.
| Eigenschaft von $f'$ (hinreichende Bedingung) |
hieraus folgt | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|
| ... | $\Rightarrow$ | $f$ ist im Intervall $I$ streng monoton steigend. |
| ... | $\Rightarrow$ | $f$ ist im Intervall $I$ streng monoton fallend. |
| ... | $\Rightarrow$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. |
| ... | $\Rightarrow$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. |
| ... | $\Rightarrow$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt. |
Nutze diese Bedingungen:
- $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von positiven zu negativen Werten.)
- $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von negativen zu positiven Werten.)
- $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ nicht das Vorzeichen.)
- Graph $f'$ verläuft im Intervall $I$ im positiven Bereich. (d.h.: $f'(x) > 0$ für alle $x \in I$).
- Graph $f'$ verläuft im Intervall $I$ im negativen Bereich. (d.h.: $f'(x) \text{ < } 0$ für alle $x \in I$).
$f$ ist im Intervall $I$ streng monoton steigend genau dann, wenn im gesamten Intervall $I$ folgendes gilt: Wenn $x$ größer wird, dann wird auch $f(x)$ größer. Der Graph steigt dann also immer an.
$f$ ist im Intervall $I$ streng monoton fallend genau dann, wenn im gesamten Intervall $I$ folgendes gilt: Wenn $x$ größer wird, dann wird $f(x)$ kleiner. Der Graph fällt dann immer ab.
Aufgabe 2
Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: "Wenn ..., dann folgt daraus, dass ..."). Erläutere, warum man die Wenn-Teilaussage als hinreichende Bedingung zur Dann-Teilaussage bezeichnet.
Aufgabe 3
Einige der Aussagen in der Tabelle werden Vorzeichenwechselkriterien genannt. Erläutere, wozu und wie man diese Kriterien nutzt.
Aufgabe 4
Fülle die zweite Box des Wissensspeichers aus.
