Hinreichende Bedingungen für Hoch-/Tiefpunkte und Monotonie

Einen Zusammenhang erkunden

Ziel der folgenden Betrachtungen ist es, Bedingungen mit Hilfe der Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ zu formulieren, mit denen man - wenn sie erfüllt sind - auf Hoch- und Tiefpunkte der Ausgangsfunktion $f$ schließen kann.

Zur Erkundung der Bedingungen dient das folgende Applet, bei dem man den Punkt $Q$ auf Graph $f^{\prime }$ bewegen kann.

Zum Herunterladen: hinreichendebedingungmonotonieextrema.ggb

Aufgabe 1

In der Tabelle sollen passende Bedingungen an $f^{\prime }$ eingetragen werden, so dass die jeweiligen Folgerungsaussagen korrekt sind.

Eigenschaft von $f^{\prime }$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
...	$\Rightarrow$	$f$ ist im Intervall $I$ streng monoton steigend.
...	$\Rightarrow$	$f$ ist im Intervall $I$ streng monoton fallend.
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Hinweise zur Formulierung der Bedingungen

Hinweis zum Monotoniebegriff

Aufgabe 2

Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: "Wenn ..., dann folgt daraus, dass ..."). Erläutere, warum man die Wenn-Teilaussage als hinreichende Bedingung zur Dann-Teilaussage bezeichnet.

Aufgabe 3

Einige der Aussagen in der Tabelle werden Vorzeichenwechselkriterien genannt. Erläutere, wozu und wie man diese Kriterien nutzt.

Aufgabe 4

Fülle die zweite Box des Wissensspeichers aus.