Notwendige Bedingung für Wendepunkte
Anschauung – Krümmung eines Graphen
Das Konzept von Wendepunkten ist eng mit der anschaulichen Krümmung eines Graphen verbunden:
Zum Herunterladen: kruemmung.ggb
Man erkennt direkt:
Für eine Funktion $f$ mit der Ableitung $f'$ gilt:
- Wenn die Ableitungsfunktion $f'$ in einem Intervall fällt, ist die Ausgangsfunktion $f$ in diesem Intervall rechtsgekrümmt.
- Wenn die Ableitungsfunktion $f'$ in einem Intervall wächst, ist die Ausgangsfunktion $f$ in diesem Intervall linksgekrümmt.
Eine Rechtskrümmung tritt bei gebremstem Wachstum und bei beschleunigtem Zerfall auf. Eine Linkskrümmung tritt bei gebremsten Zerfall und bei beschleunigten Wachstum auf. Ob nun Zerfall oder Wachstum herrscht, lässt sich aus dem Vorzeichen von $f'$ ablesen.
Die Punkte, in denen eine Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergeht und umgekehrt, heißen Wendepunkte.
Grundidee - Steigungen betrachten
Wendepunkte sind Punkte eines Funktionsgraphen, in denen sich das Wachstumsverhalten wendet: von beschleunigtem Wachstum bzw. Zerfall zu gebremstem Wachstum bzw. Zerfall oder umgekehrt von gebremstem Wachstum bzw. Zerfall zu beschleunigtem Wachstum bzw. Zerfall. In diesen Punkten ist dann die Steigung lokal maximal oder minimal.
Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$ in einem Bereich um einen Wendepunkt verlaufen. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um Graph $f'$ und Graph $f''$ zu erzeugen.
| Situation 1 | Situation 2 | Situation 3 | Situation 4 |
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Übergang von gebremstem zu beschleunigtem Wachstum. | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Übergang von beschleunigtem zu gebremstem Wachstum. | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Übergang von gebremstem zu beschleunigtem Zerfall. | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Übergang von beschleunigtem zu gebremstem Zerfall. |
| $f'$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. | $f'$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. | $f'$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. | $f'$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. |
| $f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. | $f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. | $f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. | $f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. |
Mit Hilfe der notwendigen Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte erhält man den folgenden Zusammenhang:
Notwendige Bedingung für Wendepunkte:
Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt hat, dann hat $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle.
Beachte, dass die Umkehrung "Wenn $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt." falsch ist. Die Funktion $f'$ kann an der Stelle $x$ auch einen Sattelpunkt haben. In diesem Fall liegt dann an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel vor - und somit ein Hoch- oder Tiefpunkt.
Die Nullstellen von $f''$ liefern somit nur die kritischen Stellen, an denen Wendepunkte vorliegen können aber nicht müssen.
Anwendung der notwendigen Bedingung
Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.
geg.: $f(x) = \frac{1}{324}x^4 - \frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{2}x + 2$
ges.: kritische Stellen, an denen Wendepunkte von $f$ liegen können
Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f''$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Wendepunkt vorliegen.
Die Ableitungsfunktion $f''(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln. Es gilt:
$f'(x) = \frac{1}{81}x^3 - \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{2}x$
$f''(x) = \frac{1}{27}x^2 - \frac{2}{9}x$
Zur Bestimmung der Nullstellen von $f''$ muss die Bedingung $f''(x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:
$f''(x) = x \cdot (\frac{1}{27}x - \frac{2}{9})$
Aus dieser Produktdarstellung von $f''(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:
- $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $\frac{1}{27}x - \frac{2}{9} = 0$
- $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = 6$
Die kritischen Stellen für Wendepunkte sind demnach $x = 0$ und $x = 6$. Ob an diesen Stellen tatsächlich Wendepunkte vorliegen, lässt sich ohne weitere Informationen nicht klären.
