Notwendige Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte
Einen Zusammenhang präzise formulieren
Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$ in einem bestimmten Bereich verlaufen. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um Graph $f'$ zu erzeugen.
| Situation 1 | Situation 2 | Situation 3 | Situation 4 |
|---|---|---|---|
| ... | ... | ... | ... |
| ... | ... | ... | ... |
Aufgabe 1
Ergänze in der Tabelle in den beiden unteren Zeile die folgenden Aussagen, so dass sie zur jeweiligen Situation passen. Beachte, dass einige Aussagen mehrfach verwendet werden müssen.
- $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
- $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
- $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.
- $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle.
Aufgabe 2
Welche der beiden Wenn-Dann-Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründe mit den Situationen in der Tabelle.
Aussage 1:
Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle.
Aussage 2:
Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Aufgabe 3
Wenn-Dann-Aussagen werden in der Mathematik oft mit dem Folgerungspfeil $\Rightarrow$ dargestellt. Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: "Wenn ..., dann folgt daraus, dass ..."). Erläutere, warum man die Dann-Teilaussage als notwendige Bedingung zur Wenn-Teilaussage bezeichnet.
| Eigenschaft von $f$ | hieraus folgt | Eigenschaft von $f'$ (notwendige Bedingung) |
|---|---|---|
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. | $\Rightarrow$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$. |
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. | $\Rightarrow$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$. |
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt. | $\Rightarrow$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$. |
Neue Begriffe
Hoch- und Tiefpunkte sind sich recht ähnlich, deshalb gibt es einen gemeinsamen Oberbegriff: Man nennt sie auch Extrempunkte. Wenn die notwendige Bedingung an einer Stelle $x$ erfüllt ist, so nennt man den Punkt $P(x|f(x))$ einen kritischen Punkt. Ob ein kritischer Punkt jedoch ein Extrempunkt (und falls ja, welcher) oder doch ein Sattelpunkt ist, wissen wir noch nicht; dafür brauchen wir ein weiteres Kriterium ...
Aufgabe 4
Kritische Punkte nennt man auch „Kandidaten für Extrempunkte“. Erkläre, was man damit meint.
Aufgabe 5
Fülle die erste Box des Wissensspeichers aus.
