Notwendige Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte

Einen Zusammenhang präzise formulieren

Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ in einem bestimmten Bereich verlaufen. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um Graph $f^{\prime }$ zu erzeugen.

Situation 1	Situation 2	Situation 3	Situation 4
...	...	...	...
...	...	...	...

Aufgabe 1

Ergänze in der Tabelle in den beiden unteren Zeile die folgenden Aussagen, so dass sie zur jeweiligen Situation passen. Beachte, dass einige Aussagen mehrfach verwendet werden müssen.

• $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
• $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
• $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.
• $f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle.

Aufgabe 2

Welche der beiden Wenn-Dann-Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründe mit den Situationen in der Tabelle.

Aussage 1:

Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat $f^{\prime }$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle.

Aussage 2:

Wenn $f^{\prime }$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt.

Aufgabe 3

Wenn-Dann-Aussagen werden in der Mathematik oft mit dem Folgerungspfeil $\Rightarrow$ dargestellt. Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: "Wenn ..., dann folgt daraus, dass ..."). Erläutere, warum man die Dann-Teilaussage als notwendige Bedingung zur Wenn-Teilaussage bezeichnet.

Eigenschaft von $f$	hieraus folgt	Eigenschaft von $f^{\prime }$ (notwendige Bedingung)
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f^{\prime }(x)=0$.
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f^{\prime }(x)=0$.
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f^{\prime }(x)=0$.

Neue Begriffe

Hoch- und Tiefpunkte sind sich recht ähnlich, deshalb gibt es einen gemeinsamen Oberbegriff: Man nennt sie auch Extrempunkte. Wenn die notwendige Bedingung an einer Stelle $x$ erfüllt ist, so nennt man den Punkt $P(x|f(x))$ einen kritischen Punkt. Ob ein kritischer Punkt jedoch ein Extrempunkt (und falls ja, welcher) oder doch ein Sattelpunkt ist, wissen wir noch nicht; dafür brauchen wir ein weiteres Kriterium ...

Aufgabe 4

Kritische Punkte nennt man auch „Kandidaten für Extrempunkte“. Erkläre, was man damit meint.

Aufgabe 5

Fülle die erste Box des Wissensspeichers aus.