Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte
Grundidee - Steigungen betrachten
Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$ in einem bestimmten Bereich verlaufen. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um Graph $f'$ zu erzeugen.
| Situation 1 | Situation 2 | Situation 3 | Situation 4 |
|---|---|---|---|
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt. | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt. |
| $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. |
Man erhält den folgenden - anschaulich plausiblen - Zusammenhang:
Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte:
Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle.
Beachte, dass die Umkehrung "Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt." falsch ist. Die Funktion $f$ kann an der Stelle $x$ dann auch einen Sattelpunkt haben.
Die Nullstellen von $f'$ liefern somit nur die kritischen Stellen, an denen Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen können aber nicht müssen.
Anwendung der notwendigen Bedingung
Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.
geg.: $f(x) = \frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 0.5$
ges.: kritische Stellen von $f$, an denen Hoch- oder Tiefpunkte liegen können
Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f'$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.
Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln.
$f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2$
Zur Bestimmung der Nullstellen von $f'$ muss die Bedingung $f'(x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:
$f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1)$
Aus dieser Produktdarstellung von $f'(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:
- $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^2 = 0$ oder $x^2 = 4$
- $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$
Die kritischen Stellen sind demnach $x = 0$ und $x = -2$ und $x = 2$. Ob an diesen Stellen tatsächlich Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen, lässt sich ohne weitere Informationen nicht klären.
