Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte - mit höheren Ableitungsfunktionen

Die 2. Ableitung berücksichtigen

Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ entsteht, wenn die 1. Ableitung $f^{\prime }$ und die 2. Ableitung $f^{″}$ bestimmte Eigenschaften an einer Stelle $x$ haben. Die Stelle $x$ ist in den Applets jeweils die Stelle $x=0$. Beachte, dass als Information nur die Lage des blauen Punktes auf Graph $f^{\prime }$ und des grünen Punktes auf Graph $f^{″}$ vorgegeben ist. Mit den Schiebereglern kann man jetzt weitere Information hinzufügen und dabei beobachten, wie sich das auf die Graphen auswirkt.

Situation 1: $f^{\prime }(x)=0$; $f^{″}(x)\text{ < }0$	Situation 2: $f^{\prime }(x)=0$; $f^{″}(x)>0$	Situation 3: $f^{\prime }(x)=0$; $f^{″}(x)=0$
$f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ einen $+/-$-Vorzeichenwechsel.	$f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ einen $-/+$-Vorzeichenwechsel.	Es ist keine allgemeine Aussage über einen Vorzeichenwechsel an der Stelle $x$ möglich.
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.	Man kann nicht entscheiden, ob an der Stelle $x$ ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.

Es gilt folgender Zusammenhang (den wir hier nicht formal beweisen).

Wenn $f^{\prime }(x)=0$ und $f^{″}(x)=0$, dann kann man ohne weitere Information nicht entscheiden, ob an der Stelle $x$ ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.

Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Kriterium mit höheren Ableitungen

Wir betrachten wieder das folgende Beispiel.

Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen

In Schritt 1 werden die Überlegungen aus dem letzten Abschnitt wiederholt.

Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{\prime }$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.

Die Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{4}{x}^4-x^2$

Zur Bestimmung der Nullstellen von $f^{\prime }$ muss die Bedingung $f^{\prime }(x)=0$ erfüllt sein. Es gilt:

$f^{\prime }(x)=x^2\cdot (\frac{1}{4}{x}^2-1)$

Aus dieser Produktdarstellung von $f^{\prime }(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:

• $f^{\prime }(x)=0$ genau dann, wenn $x^2=0$ oder $x^2=4$
• $f^{\prime }(x)=0$ genau dann, wenn $x=0$ oder $x=-2$ oder $x=2$

Die kritischen Stellen sind demnach $x=0$ und $x=-2$ und $x=2$. Nur an diesen Stellen kann ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.

Schritt 2: Die zweite Ableitung zur Entscheidung nutzen

Zuerst wird die Ableitungsfunktion $f^{″}$ bestimmt. Es gilt:

$f^{″}(x)=x^3-2x$

Wir nutzen jetzt die 2. Ableitung $f^{″}$, um Entscheidungen darüber zu treffen, ob an den Nullstellen von $f^{\prime }$ Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen.

Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen

Es fehlen noch die $y$-Koordinaten der gefundenen Hoch- und des Tiefpunkte.

Zur Bestimmung der $y$-Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.

$f(-2)=\frac{47}{30}\approx 1.57$: Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten $(-2|1.57)$.

$f(2)=-\frac{17}{30}\approx -0.57$: Der Tiefpunkt hat somit die Koordinaten $(2|-0.57)$.