Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte - mit höheren Ableitungsfunktionen
Die 2. Ableitung berücksichtigen
Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ entsteht, wenn die 1. Ableitung $f'$ und die 2. Ableitung $f''$ bestimmte Eigenschaften an einer Stelle $x$ haben. Die Stelle $x$ ist in den Applets jeweils die Stelle $x = 0$. Beachte, dass als Information nur die Lage des blauen Punktes auf Graph $f'$ und des grünen Punktes auf Graph $f''$ vorgegeben ist. Mit den Schiebereglern kann man jetzt weitere Information hinzufügen und dabei beobachten, wie sich das auf die Graphen auswirkt.
| Situation 1: $f'(x) = 0$; $f''(x) \text{ < } 0$ | Situation 2: $f'(x) = 0$; $f''(x) > 0$ | Situation 3: $f'(x) = 0$; $f''(x) = 0$ |
|---|---|---|
| $f'$ hat an der Stelle $x$ einen $+/-$-Vorzeichenwechsel. | $f'$ hat an der Stelle $x$ einen $-/+$-Vorzeichenwechsel. | Es ist keine allgemeine Aussage über einen Vorzeichenwechsel an der Stelle $x$ möglich. |
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. | Man kann nicht entscheiden, ob an der Stelle $x$ ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt. |
Es gilt folgender Zusammenhang (den wir hier nicht formal beweisen).
Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte (mit höheren Ableitungen):
Wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x) \text{ < } 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
Wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x) > 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
Wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$, dann kann man ohne weitere Information nicht entscheiden, ob an der Stelle $x$ ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.
Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Kriterium mit höheren Ableitungen
Wir betrachten wieder das folgende Beispiel.
geg.: $f(x) = \frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 0.5$
ges.: Hoch- und Tiefpunkte von $f$
Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen
In Schritt 1 werden die Überlegungen aus dem letzten Abschnitt wiederholt.
Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f'$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.
Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln.
$f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2$
Zur Bestimmung der Nullstellen von $f'$ muss die Bedingung $f'(x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:
$f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1)$
Aus dieser Produktdarstellung von $f'(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:
- $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^2 = 0$ oder $x^2 = 4$
- $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$
Die kritischen Stellen sind demnach $x = 0$ und $x = -2$ und $x = 2$. Nur an diesen Stellen kann ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.
Schritt 2: Die zweite Ableitung zur Entscheidung nutzen
Zuerst wird die Ableitungsfunktion $f''$ bestimmt. Es gilt:
$f''(x) = x^3 - 2x$
Wir nutzen jetzt die 2. Ableitung $f''$, um Entscheidungen darüber zu treffen, ob an den Nullstellen von $f'$ Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen.
| Stelle | $f'(x)$ | $f''(x)$ | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $x = -2$ | $f'(-2) = 0$ | $f''(-2) = -4 \text{ < } 0$ | Hochpunkt |
| $x = 0$ | $f'(0) = 0$ | $f''(0) = 0$ | keine Entscheidung möglich |
| $x = 2$ | $f'(2) = 0$ | $f''(2) = 4 > 0$ | Tiefpunkt |
Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen
Es fehlen noch die $y$-Koordinaten der gefundenen Hoch- und des Tiefpunkte.
Zur Bestimmung der $y$-Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.
$f(-2) = \frac{47}{30} \approx 1.57$: Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten $(-2|1.57)$.
$f(2) = -\frac{17}{30} \approx -0.57$: Der Tiefpunkt hat somit die Koordinaten $(2|-0.57)$.
