o-mathe | Übungen - Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten

Vorzeichenwechselkriterium

Aufgabe 1

Gegeben ist eine Tabelle mit Eigenschaften von $f^{'}$ . Gesucht sind die zugehörigen Eigenschaften von $f$ und eine Skizze eines passenden Graphen.

(a) Vervollständige die Tabelle und zeichne einen passenden Graph $f$ mit diesen Eigenschaften.

Stelle / Intervall	$f^{'} (x)$	Vorzeichen/VZW	Eigenschaft von $f$
$- \infty < x < - 1$	$f^{'} (x) > 0$	$+$	$f$ streng monoton wachsend
$x = - 1$	$f^{'} (- 1) = 0$	VZW von $+$ zu $-$	Hochpunkt
$- 1 < x < 4$	$f^{'} (x) < 0$	$-$
$x = 4$	$f^{'} (4) = 0$
$4 < x < \infty$	$f^{'} (x) > 0$

(b) Fülle die Lücken in der Tabelle und zeichne einen passenden Graph $f$ mit diesen Eigenschaften.

Stelle / Intervall	$f^{'} (x)$	Vorzeichen/VZW	Eigenschaft von $f$
$- \infty < x < 0$	$f^{'} (x) < 0$
$x = 0$	$f^{'} (0) = 0$
$0 < x < 2$	$f^{'} (x) > 0$
$x = 2$	$f^{'} (0) = 0$
$2 < x < 4$	$f^{'} (x) > 0$
$x = 4$	$f^{'} (0) = 0$
$4 < x < \infty$	$f^{'} (x) > 0$

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt Information über die Ableitungsfunktion $f^{'}$ . Die Funktion $f^{'}$ soll nur die in der Abbildung zu sehenden Nullstellen haben.

Erschließe aus dieser Information über $f^{'}$ Eigenschaften von $f$ . Begründe jeweils.

Aufgabe 3

Gegeben ist $f^{'}$ mit

Version A: $f^{'} (x) = x \cdot (x - 4)$
Version B: $f^{'} (x) = 12 x^{2} \cdot (x - 1)$

Ziel ist es jeweils, Graph $f$ zu skizzieren.

(a) Bestimme die Nullstellen von $f^{'}$ - die kann man hier direkt ablesen - und ermittle mit passenden Kriterien die Monotonieeigenschaften von $f$ sowie die genauen Koordinaten der Hoch-, Tief- und Sattelpunkte von $f$ . Stelle die Überlegungen in einer Übersicht dar.

Stelle / Intervall	$f^{'} (x)$	Vorzeichen/VZW	Eigenschaft von $f$
$- \infty < x < 0$	$f^{'} (. . .) = . . .$
$x = 0$	$f^{'} (0) = . . .$
$- \infty < x < . . .$
$x = . . .$
$. . . < x < \infty$

Zur Ausführung von Berechnungen kannst du den folgenden Funktionswerteberechner nutzen.

Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb

(b) Zur Kontrolle soll Graph $f$ mit einem Plotter gezeichnet werden. Bestimme einen Funktionsterm für $f (x) = . . .$ , so dass $f^{'} (x) = x \cdot (x - 4) = x^{2} - 4 x$ (für Version A) bzw. $f^{'} (x) = 12 x^{2} \cdot (x - 1) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$ (für Version B) gilt. Du musst hierzu die Funktion $f^{'}$ "aufleiten". Gib dann die Funktion $f$ mit einem passenden Bereich in den Plotter ein.

Zum Herunterladen: plotter2.ggb

Vorzeichenwechselkriterium

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

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