Exkurs - Wenn-Dann-Aussagen
Die Gültigkeit von Wenn-Dann-Aussagen bewerten
Wenn-Dann-Aussagen werden im Alltag in ganz unterschiedlichen Situationen benutzt:
- um Ursache-Wirkung-Beziehungen zu beschreiben: Wenn man auf den Klingelknopf drückt, dann wird ein Klingelton ausgelöst.
- um zeitliche Abfolgen zu beschreiben: Wenn es dunkel wird, hören wir mit dem Fußballspielen auf.
- um logische Beziehungen zu beschreiben: Wenn heute ein Freitag ist, dann ist morgen ein Samstag.
Wir konzentrieren uns hier auf rein logische Beziehungen.
Aufgabe 1
Betrachte die folgenden Wenn-Dann-Aussagen aus dem Alltag:
- Wenn eine Person in Frankfurt am Main wohnt, dann wohnt die Person in Deutschland.
- Wenn eine Person in Frankfurt wohnt, dann wohnt die Person in Hessen.
- Wenn ein Tag ein Freitag ist, dann ist der Folgetag ein Samstag.
- Wenn ein Tag der 28. Februar ist, dann ist der Folgetag der 1. März.
(a) Welche der aufgelisteten Wenn-Dann-Aussagen sind wahr, welche falsch?
(b) Erläutere: Alle aufgelisteten Wenn-Dann-Aussagen haben die folgende Struktur:
Für alle X: Wenn X die Eigenschaft A hat, dann hat X auch die Eigenschaft B.
(c) Ergänze: Um eine Wenn-Dann-Aussage mit der Struktur aus (b) als falsch nachzuweisen, nutzt man ein Gegenbeispiel mit folgender Eigenschaft:
Es gibt ein X, ...
Aufgabe 2
Die folgenden Wenn-Dann-Aussagen aus der Mathematik sind alle falsch. Begründe jeweils mit einem Gegenbeispiel.
- Wenn eine natürliche Zahl $n$ eine Primzahl ist, dann ist $n$ ungerade.
- Wenn ein Viereck zwei gleich lange Seiten hat, dann ist es ein Parallelogramm.
- Wenn eine Funktion streng monoton steigend ist, dann hat sie eine Nullstelle.
Die Begriffe "hinreichend" und "notwendig" verwenden
Im Zusammenhang mit Wenn-Dann-Aussagen werden oft die Begriffe "hinreichend" und "notwendig" benutzt.
Wenn die Aussage "Wenn A, dann B" wahr ist, dann ist A eine hinreichende Bedingung für B (denn wenn A erfüllt ist, dann ist das hinreichend dafür, dass auch B erfüllt ist).
Wenn die Aussage "Wenn A, dann B" wahr ist, dann ist B eine notwendige Bedingung für A (denn wenn A erfüllt ist, dann muss notwendigerweise auch B erfüllt sein).
Die folgende Tabelle verdeutlicht die Begriffe anhand eines Beispiels.
| hinreichende Bedingung | hieraus folgt | Aussage | hieraus folgt | notwendige Bedingung |
|
Das Viereck hat die Eckpunkte mit den Koordinaten A(0|0), B(x|0), C(x|x), D(0|x) (mit einer reellen Zahl x). |
$\Rightarrow$ | Das Viereck ist ein Quadrat. | $\Rightarrow$ | Das Viereck hat 4 rechte Winkel. |
|
Das Viereck hat 4 rechte Winkel und 4 gleich lange Seiten. |
$\Rightarrow$ | Das Viereck ist ein Quadrat. | $\Rightarrow$ |
Das Viereck hat 4 rechte Winkel und 4 gleich lange Seiten. |
| $\Rightarrow$ |
Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt. |
$\Rightarrow$ |
Aufgabe 3
(a) Erläutere anhand der ersten Zeile in der Übersicht den Unterschied zwischen einer hinreichenden und einer notwendigen Bedingung (für eine Aussage).
(b) Ein Bedingung für eine Aussage kann auch hinreichend und notwendig sein. Erkläre das anhand der zweiten Zeile in der Übersicht.
(c) Ergänze passende Bedingungen in der dritten Zeile in der Übersicht.
Die Umkehrung von Wenn-Dann-Aussagen analysieren
Wenn-Dann-Aussagen sind oft nicht umkehrbar. Betrachte hierzu noch einmal die folgenden Wenn-Dann-Aussagen aus dem Alltag:
- Wenn eine Person in Frankfurt am Main wohnt, dann wohnt die Person in Deutschland.
- Wenn ein Tag ein Freitag ist, dann ist der Folgetag ein Samstag.
Die umgekehrten Wenn-Dann-Aussagen lauten:
- Wenn eine Person in Deutschland wohnt, dann wohnt sie in Frankfurt am Main.
- Wenn der Folgetag ein Samstag ist, dann ist der Tag ein Freitag.
Aufgabe 4
(a) Welche Umkehrung stimmt hier, welche ist falsch?
(b) Betrachte die folgenden wahren Wenn-Dann-Aussagen aus der Mathematik. Welche Umkehrung ist auch wahr, welche nicht?
- Wenn eine natürliche Zahl $n$ ungerade ist, dann ist auch die Quadratzahl $n^2$ ungerade.
- Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind die gegenüberliegenden Seiten parallel.
- Wenn eine Funktion $f$ an einer Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann gilt $f'(x) = 0$.
