Hinreichende Bedingung für Wendepunkte - mit höheren Ableitungsfunktionen

Höhere Ableitungen berücksichtigen

Eine weitere hinreichende Bedingung für Wendepunkte erhält man, wenn man die entsprechenden Bedingungen für Hoch- und Tiefpunkte mit höheren Ableitung überträgt.

Mit dem Applet kannst du dir die Zusammenhänge nochmal klarmachen. Wir nutzen hier, dass wir $f^{″}$ in einem kleinen Intervall um $x$ fast linear ist.

Zum Herunterladen: wendepunktehoehereableitungen.ggb

Es gilt folgender Zusammenhang (den wir hier nicht formal beweisen).

Bestimmung von Wendepunkten mit dem Kriterium mit höheren Ableitungen

Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.

Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb

Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen

In Schritt 1 werden die Überlegungen aus dem letzten Abschnitt wiederholt.

Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{″}$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Wendepunkt vorliegen.

Die Ableitungsfunktion $f^{″}(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln. Es gilt:

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{81}{x}^3-\frac{1}{9}{x}^2+\frac{1}{2}x$

$f^{″}(x)=\frac{1}{27}{x}^2-\frac{2}{9}x$

Zur Bestimmung der Nullstellen von $f^{″}$ muss die Bedingung $f^{″}(x)=0$ erfüllt sein. Es gilt:

$f^{″}(x)=x\cdot (\frac{1}{27}x-\frac{2}{9})$

Aus dieser Produktdarstellung von $f^{″}(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:

• $f^{″}(x)=0$ genau dann, wenn $x=0$ oder $\frac{1}{27}x-\frac{2}{9}=0$
• $f^{″}(x)=0$ genau dann, wenn $x=0$ oder $x=6$

Die kritischen Stellen für Wendepunkte sind demnach $x=0$ und $x=6$. Ob an diesen Stellen tatsächlich Wendepunkte vorliegen, lässt sich ohne weitere Informationen nicht klären.

Schritt 2: Die dritte Ableitung zur Entscheidung nutzen

Zuerst wird die Ableitungsfunktion $f^{‴}$ bestimmt. Es gilt:

$f^{‴}(x)=\frac{2}{27}x-\frac{2}{9}$

Wir nutzen jetzt die 3. Ableitung $f^{‴}$, um Entscheidungen darüber zu treffen, ob an den Nullstellen von $f^{″}$ Wendepunkte vorliegen.

Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen

Man weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten dieser Punkte.

Zur Bestimmung der $y$-Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.

$f(0)=2$: Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(0|2)$.

$f(6)=1$: Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(6|1)$.

Schritt 4: Die Steigung im Wendepunkt bestimmen

Um zu entscheiden, ob die Wendepunkte Sattelpunkte sind, berechnen wir die Steigungen in den Wendepunkten.

Wendepunkt $(0|2)$: Es gilt $f^{\prime }(0)=1/2$. Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.

Wendepunkt $(6|1)$: Es gilt $f^{\prime }(6)\approx -0.83$. Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.