Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums

Hoch-, Tief- und Sattelpunkte einer Funktion bestimmen

Wir nutzen hier die Vorzeichenwechselkriterien, um die Hoch-, Tief- und Sattelpunkte einer Funktion zu bestimmen.

Aufgabe 1

Erkläre (mit Hilfe der notwendigen Bedingungen), warum man zunächst die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ bestimmen sollte.

Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen

In einem ersten Schritt werden jetzt die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ bestimmt.

Aufgabe 2

Bestimme $f^{\prime }(x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

Kontrolle

Aufgabe 3

(a) Bestimme die Nullstellen von $f^{\prime }(x)$ mit dem folgenden Gleichungstool.

Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb

Gib den Funktionsterm von $f^{\prime }(x)$ in das Eingabefeld der Hilfsfunktion $h(x)$ ein. Aktiviere dann den Button [Nullstellen der Funktion].

(b) Begründe:

• $f^{\prime }(x)=x^2\cdot (\frac{1}{4}{x}^2-1)$
• $f^{\prime }(x)=0$ genau dann, wenn $x^2=0$ oder $x^2=4$
• $f^{\prime }(x)=0$ genau dann, wenn $x=0$ oder $x=-2$ oder $x=2$

Schritt 2: Zwischenwerte als Testwerte nutzen

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob bzw. welche Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von $f^{\prime }$ vorliegen.

Stelle / Intervall	$f^{\prime }(x)$	Vorzeichenwechsel	Eigenschaft von $f$
$-\mathrm{\infty }\text{ < }x\text{ < }-2$	$f^{\prime }(-4)=48$ $f^{\prime }(x)>0$		streng monoton steigend
$x=-2$	$f^{\prime }(-2)=0$	$+/-$ VZW	Hochpunkt
$-2\text{ < }x\text{ < }0$	$f^{\prime }(-1)=-3/4$ $f^{\prime }(x)\text{ < }0$		streng monoton fallend
$x=0$
$0\text{ < }x\text{ < }2$
$x=2$
$2\text{ < }x\text{ < }\mathrm{\infty }$

Aufgabe 4

(a) In der Tabelle sind bereits etliche Einträge zu finden. Erkläre zunächst die Einträge in der 1. Spalte. Warum wird genau diese Unterteilung hier betrachtet?

(b) Als Testwert im Intervall $-\mathrm{\infty }\text{ < }x\text{ < }-2$ wird der $x$-Wert $x=-4$ betrachtet. Wenn man $f^{\prime }(-4)$ ausrechnet, erhält man als Ergebnis die Zahl $48$. Prüfe das nach. Warum kann man jetzt aus diesem Ergebnis erschließen, dass $f$ im gesamten Intervall $-\mathrm{\infty }\text{ < }x\text{ < }-2$ streng monoton steigend ist?

(c) Erkläre, wie man zu dem Ergebnis kommt, dass $f$ an der Stelle $x=-2$ einen Hochpunkt haben muss.

Aufgabe 5

Ergänze die fehlenden Einträge in der Tabelle. Nutze geeignete Testwerte in den Intervallen, um das jeweilige Vorzeichen von $f^{\prime }$ in diesen Intervallen herauszufinden. Zur Berechnung der $f^{\prime }(x)$-Werte kann du deinen Taschenrechner oder das folgende Applet nutzen.

Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb

Hinweis: Gib im Applet zuerst den Funktionsbezeichner $f^{\prime }$ in das Eingabefeld über der Box ein. Gib anschließend den Funktionsterm von $f^{\prime }(x)$ in das Eingabefeld in der Mitte der Box ein. Danach kannst du jeweils deine $x$-Werte eingeben.

Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen

Du weißt jetzt, an welchen Stellen Hoch-, Tief- und Sattelpunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten der Punkte.

Aufgabe 6

Bestimme die $y$-Koordinaten des Hoch-, Tief- und Sattelpunktes. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Zur Berechnung der $f(x)$-Werte kann du deinen Taschenrechner oder das Applet oben (mit den passenden Eingaben) nutzen.

Schritt 4: Graph $f$ skizzieren

Du hast jetzt sehr viel Information über Eigenschaften der Funktion $f$ gesammelt.

Aufgabe 7

(a) Nutze die gewonnene Information über $f$, um Graph $f$ auf Papier zu skizzieren.

(b) Kontrolliere deine Skizze, indem du passende Daten im Applet eingibst. Beachte, dass du auch für xMin und xMax geeignete Zahlen wählst.

Zum Herunterladen: plotter2.ggb