Hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Krümmung
Auf das Vorzeichen der 2. Ableitung achten
Die Wendepunkte der Ausgangsfunktion $f$ entsprechen den Hoch- und Tiefpunkten der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$. Wir können daher hinreichende Kriterien für Hoch- und Tiefpunkte nutzen, um entsprechende Kriterien für Wendepunkte zu gewinnen.
Das Applet zeigt eine Situation, in der im oberen Fenster die Ausgangsfunktion $f$ dargestellt ist. Im unteren Fenster ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f'$ (gestrichelt) sowie der Ableitungsfunktion $f''$ dargestellt.
Zum Herunterladen: hinreichendebedingungwendepunkte.ggb
Aufgabe 1
Wir betrachten zuerst die Krümmungseigenschaften von Graph $f$. Ergänze in der Tabelle die fehlenden Begriffe (streng monoton steigend, streng monoton fallend, Linkskurve, Rechtskurve).
| Eigenschaft von $f''$ (hinreichende Bedingung) |
$\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f'$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f$ |
| $f''$ ist positiv im Intervall $I$ | $\Rightarrow$ |
$f'$ ist im Intervall $I$ ... |
$\Rightarrow$ |
Graph $f$ beschreibt im Intervall $I$ ... |
| $f''$ ist negativ im Intervall $I$ | $\Rightarrow$ |
$f'$ ist im Intervall $I$ ... |
$\Rightarrow$ |
Graph $f$ beschreibt im Intervall $I$ ... |
Aufgabe 2
Hier geht es um eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte.
(a) Ergänze in der Tabelle die fehlenden Begriffe.
| Eigenschaft von $f''$ (hinreichende Bedingung) |
$\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f'$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f$ |
|
$f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel |
$\Rightarrow$ |
$f'$ hat an der Stelle $x$ ... |
$\Rightarrow$ |
$f$ hat an der Stelle $x$ ... |
(b) Formuliere die gefundene hinreichende Bedingung im Wissensspeicher.
Höhere Ableitungen berücksichtigen
Eine weitere hinreichende Bedingung für Wendepunkte erhält man, wenn man eine Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte mit höheren Ableitung überträgt.
Aufgabe 3
(a) Ergänze in der Tabelle die fehlenden Begriffe.
| Eigenschaft von $f''$ und $f'''$ (hinreichende Bedingung) |
$\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f'$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f$ |
| $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$ | $\Rightarrow$ |
$f'$ hat an der Stelle $x$ ... |
$\Rightarrow$ |
$f$ hat an der Stelle $x$ ... |
(b) Formuliere die gefundene hinreichende Bedingung im Wissensspeicher.
