Hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Krümmung

Auf das Vorzeichen der 2. Ableitung achten

Die Wendepunkte der Ausgangsfunktion $f$ entsprechen den Hoch- und Tiefpunkten der zugehörigen Ableitungsfunktion $f^{\prime }$. Wir können daher hinreichende Kriterien für Hoch- und Tiefpunkte nutzen, um entsprechende Kriterien für Wendepunkte zu gewinnen.

Das Applet zeigt eine Situation, in der im oberen Fenster die Ausgangsfunktion $f$ dargestellt ist. Im unteren Fenster ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f^{\prime }$ (gestrichelt) sowie der Ableitungsfunktion $f^{″}$ dargestellt.

Zum Herunterladen: hinreichendebedingungwendepunkte.ggb

Aufgabe 1

Wir betrachten zuerst die Krümmungseigenschaften von Graph $f$. Ergänze in der Tabelle die fehlenden Begriffe (streng monoton steigend, streng monoton fallend, Linkskurve, Rechtskurve).

Eigenschaft von $f^{″}$ (hinreichende Bedingung)	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{\prime }$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f^{″}$ ist positiv im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ ist im Intervall $I$ ...	$\Rightarrow$	Graph $f$ beschreibt im Intervall $I$ ...
$f^{″}$ ist negativ im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ ist im Intervall $I$ ...	$\Rightarrow$	Graph $f$ beschreibt im Intervall $I$ ...

Aufgabe 2

Hier geht es um eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte.

(a) Ergänze in der Tabelle die fehlenden Begriffe.

Eigenschaft von $f^{″}$ (hinreichende Bedingung)	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{\prime }$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f^{″}$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ ...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ ...

(b) Formuliere die gefundene hinreichende Bedingung im Wissensspeicher.

Höhere Ableitungen berücksichtigen

Eine weitere hinreichende Bedingung für Wendepunkte erhält man, wenn man eine Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte mit höheren Ableitung überträgt.

Aufgabe 3

(a) Ergänze in der Tabelle die fehlenden Begriffe.

Eigenschaft von $f^{″}$ und $f^{‴}$ (hinreichende Bedingung)	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f^{\prime }$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f^{″}(x)=0$ und $f^{‴}(x)\ne 0$	$\Rightarrow$	$f^{\prime }$ hat an der Stelle $x$ ...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ ...

(b) Formuliere die gefundene hinreichende Bedingung im Wissensspeicher.