Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte - mit Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion

Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion berücksichtigen

Ob eine Nullstellen von $f'$ tatsächlich einen Hoch- oder Tiefpunkte markiert, lässt sich mit der Ableitungsfunktion entscheiden.

Beobachte hierzu die Auswirkungen der Ableitung auf die Ausgangsfunktion, wenn man im Applet den Punkt $Q$ auf Graph $f'$ bewegt.

Zum Herunterladen: hinreichendebedingungmonotonieextrema.ggb

Es ergeben sich die folgenden - anschaulich plausiblen - Zusammenhänge:

Eigenschaft von $f'$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
Graph $f'$ verläuft im Intervall $I$ im positiven Bereich. (d.h.: $f'(x) > 0$ für alle $x \in I$).	$\Rightarrow$	$f$ ist im Intervall $I$ streng monoton steigend.
Graph $f'$ verläuft im Intervall $I$ im negativen Bereich. (d.h.: $f'(x) \text{ < } 0$ für alle $x \in I$).	$\Rightarrow$	$f$ ist im Intervall $I$ streng monoton fallend.
$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von positiven zu negativen Werten.)	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von negativen zu positiven Werten.)	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ nicht das Vorzeichen.)	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Es gilt folgender Zusammenhang zur Monotonie (den wir hier nicht formal beweisen).

Aus diesem Zusammenhang ergibt sich das Vorzeichenwechselkriterium für Hoch- und Tiefpunkte.

Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium

Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.

Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen

In Schritt 1 werden die Überlegungen aus dem letzten Abschnitt wiederholt.

Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f'$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln.

$f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2$

Zur Bestimmung der Nullstellen von $f'$ muss die Bedingung $f'(x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:

$f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1)$

Aus dieser Produktdarstellung von $f'(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:

• $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^2 = 0$ oder $x^2 = 4$
• $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$

Die kritischen Stellen sind demnach $x = 0$ und $x = -2$ und $x = 2$. Nur an diesen Stellen kann ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.

Schritt 2: Zwischenwerte als Testwerte nutzen

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob bzw. welche Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von $f'$ vorliegen.

Stelle / Intervall	$f'(x)$	Vorzeichenwechsel	Eigenschaft von $f$
$-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$	$f'(-4) = 48$ $f'(x) > 0$		streng monoton steigend
$x = -2$	$f'(-2) = 0$	$+/-$ VZW	Hochpunkt
$-2 \text{ < } x \text{ < } 0$	$f'(-1) = -3/4$ $f'(x) \text{ < } 0$		streng monoton fallend
$x = 0$	$f'(0) = 0$	kein VZW	Sattelpunkt
$0 \text{ < } x \text{ < } 2$	$f'(1) = -3/4$ $f'(x) \text{ < } 0$		streng monoton fallend
$x = 2$	$f'(2) = 0$	$-/+$ VZW	Tiefpunkt
$2 \text{ < } x \text{ < } \infty$	$f'(4) = 48$ $f'(x) > 0$		streng monoton steigend

Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen

Man weißt jetzt, an welchen Stellen Hoch-, Tief- und Sattelpunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten der Punkte.

Zur Bestimmung der $y$-Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.

$f(-2) = \frac{47}{30} \approx 1.57$: Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten $(-2|1.57)$.

$f(0) = 0.5$: Der Sattelpunkt hat somit die Koordinaten $(0|0.5)$.

$f(2) = -\frac{17}{30} \approx -0.57$: Der Tiefpunkt hat somit die Koordinaten $(2|-0.57)$.