Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte - mit Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion

Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion berücksichtigen

Ob eine Nullstellen von $f^{\prime }$ tatsächlich einen Hoch- oder Tiefpunkte markiert, lässt sich mit der Ableitungsfunktion entscheiden.

Beobachte hierzu die Auswirkungen der Ableitung auf die Ausgangsfunktion, wenn man im Applet den Punkt $Q$ auf Graph $f^{\prime }$ bewegt.

Zum Herunterladen: hinreichendebedingungmonotonieextrema.ggb

Es ergeben sich die folgenden - anschaulich plausiblen - Zusammenhänge:

Es gilt folgender Zusammenhang zur Monotonie (den wir hier nicht formal beweisen).

Aus diesem Zusammenhang ergibt sich das Vorzeichenwechselkriterium für Hoch- und Tiefpunkte.

Wenn $f^{\prime }$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium

Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.

Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen

In Schritt 1 werden die Überlegungen aus dem letzten Abschnitt wiederholt.

Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{\prime }$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.

Die Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{4}{x}^4-x^2$

Zur Bestimmung der Nullstellen von $f^{\prime }$ muss die Bedingung $f^{\prime }(x)=0$ erfüllt sein. Es gilt:

$f^{\prime }(x)=x^2\cdot (\frac{1}{4}{x}^2-1)$

Aus dieser Produktdarstellung von $f^{\prime }(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:

• $f^{\prime }(x)=0$ genau dann, wenn $x^2=0$ oder $x^2=4$
• $f^{\prime }(x)=0$ genau dann, wenn $x=0$ oder $x=-2$ oder $x=2$

Die kritischen Stellen sind demnach $x=0$ und $x=-2$ und $x=2$. Nur an diesen Stellen kann ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.

Schritt 2: Zwischenwerte als Testwerte nutzen

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob bzw. welche Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von $f^{\prime }$ vorliegen.

Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen

Man weißt jetzt, an welchen Stellen Hoch-, Tief- und Sattelpunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten der Punkte.

Zur Bestimmung der $y$-Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.

$f(-2)=\frac{47}{30}\approx 1.57$: Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten $(-2|1.57)$.

$f(0)=0.5$: Der Sattelpunkt hat somit die Koordinaten $(0|0.5)$.

$f(2)=-\frac{17}{30}\approx -0.57$: Der Tiefpunkt hat somit die Koordinaten $(2|-0.57)$.