Mit einer Wertetabelle lässt sich der Graph der Gewinnfunktion mit skizzieren. Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen im Koordinatensystem (hier ohne Skalierung).
Ziel ist es, die Koordinaten (insbesondere die -Koordinate) des Hochpunktes von Graph zu bestimmen.
Aufgabe 1
(a) Zusätzlich zu Graph ist hier der Graph der Ableitungsfunktion (in blau) eingezeichnet. Beschreibe eine Vorgehensweise, wie man den gesuchten -Wert mit Hilfe der Ableitungsfunktion bestimmen kann.
(b) Führe die Schritte zur Bestimmung des gesuchten -Werts möglichst eigenständig durch. Nutze bei Bedarf die Hilfen sowie das folgende Tool zur Nullstellenstimmung (du musst den passenden Funktionsterm einsetzen).
Im Hochpunkt hat Graph die Steigung . Gesucht ist also der -Wert mit .
In einem 1. Schritt muss man die Ableitungsfunktion (mit den bekannten Regeln) bestimmen.
Man erhält .
In einem 2. Schritt muss man die Gleichung lösen. Man muss also die Nullstellen der Funktion ermitteln.
Die entstehende Gleichung lässt sich mit einer Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen.
Wir nutzen das Tool zur Bestimmung von Nullstellen. Wenn man für den Funktionsterm einsetzt und dann den Button [Nullstellen der Funktion] drückt, dann erhält man die gesuchten Stellen. Probiere das selbst aus.
Im vorliegenden Fall erhält man die Nullstellen und . Der gesuchte -Wert ist also . Der -Wert liegt nicht in der vorgegebenen Definitionsmenge der Funktion und kann daher ignoriert werden.
Aufgabe 2
Bestimme auch die -Koordinate des Hochpunktes. Nutze den aus Aufgabe 1 bekannten -Wert des Hochpunktes. Deute das Ergebnis.
Die y-Koordinate des Hochpunktes erhält man so: . Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten .
