Bestimmung von Wendepunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium

Die Ausgangssituation

Wir betrachten folgendes Problem.

Der Graph von $f$ lässt vermuten, dass $f$ genau zwei Wendepunkte hat.

Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb

Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen

Die Wendepunkte von $f$ (bzw. die Hoch- und Tiefpunkte von $f^{\prime }$) liegen an den Nullstellen der Ableitungsfunktion $f^{″}$. Diese Nullstellen müssen zunächst bestimmt werden.

Aufgabe 1

Bestimme $f^{″}(x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

Kontrolle

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstellen von $f^{″}(x)$ - z.B. mit dem folgenden Gleichungstool.

Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb

Gib den Funktionsterm von $f^{″}(x)$ in das Eingabefeld der Hilfsfunktion $h(x)$ ein. Aktiviere dann den Button [Nullstellen der Funktion].

Schritt 2: Zwischenwerte als Testwerte nutzen

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob an den Nullstellen von $f^{″}$ tatsächlich Wendepunkte vorliegen. Wir nutzen das folgende hinreichende Kriterium: Wenn $f^{″}$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.

Aufgabe 3

(a) In der folgenden Tabelle sind bereits etliche Einträge zu finden. Erkläre zunächst diese Einträge.

(b) Ergänze die fehlenden Einträge. Benutze für das Intervall $8\text{ < }x\text{ < }\mathrm{\infty }$ einen geeigneten Testwert.

Stelle / Intervall	$f^{″}(x)$	Vorzeichenwechsel	Eigenschaften von $f^{\prime }$ und $f$
$-\mathrm{\infty }\text{ < }x\text{ < }2$	$f^{″}(0)=1$ $f^{″}(x)>0$		$f^{\prime }$ ist streng monoton steigend Graph $f$ beschreibt eine Linkskurve
$x=2$	$f^{″}(2)=0$	$+/-$ VZW	$f^{\prime }$ hat einen Hochpunkt $f$ hat einen Wendepunkt
$2\text{ < }x\text{ < }8$	$f^{″}(5)=-1/2$ $f^{″}(x)\text{ < }0$		$f^{\prime }$ ist streng monoton fallend Graph $f$ beschreibt eine Rechtskurve
$x=8$
$8\text{ < }x\text{ < }\mathrm{\infty }$

Schritt 3: Die $y$-Koordinaten bestimmen

Du weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten dieser Punkte.

Aufgabe 4

Bestimme die $y$-Koordinaten der Wendepunkte. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Zur Berechnung der $f(x)$-Werte kann du deinen Taschenrechner oder das folgende Applet oben (mit den passenden Eingaben) nutzen.

Kontrolliere deine Ergebnisse am gezeigten Graph oben.

Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb

Aufgabe 5

Notiere dir die gewählte Vorgehensweise im Wissensspeicher.