Bestimmung von Wendepunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium
Die Ausgangssituation
Wir betrachten folgendes Problem.
geg.: $f(x) = \frac{1}{324}x^4 - \frac{5}{81}x^3 + \frac{8}{27}x^2 - \frac{7}{162}x + \frac{109}{81}$
ges.: Wendepunkte von $f$
Der Graph von $f$ lässt vermuten, dass $f$ genau zwei Wendepunkte hat.
Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb
Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen
Die Wendepunkte von $f$ (bzw. die Hoch- und Tiefpunkte von $f'$) liegen an den Nullstellen der Ableitungsfunktion $f''$. Diese Nullstellen müssen zunächst bestimmt werden.
Aufgabe 1
Bestimme $f''(x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.
$f''(x) = \frac{1}{27}x^2 - \frac{10}{27}x + \frac{16}{27}$
Aufgabe 2
Bestimme die Nullstellen von $f''(x)$ - z.B. mit dem folgenden Gleichungstool.
Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb
Gib den Funktionsterm von $f''(x)$ in das Eingabefeld der Hilfsfunktion $h(x)$ ein. Aktiviere dann den Button [Nullstellen der Funktion].
Schritt 2: Zwischenwerte als Testwerte nutzen
Jetzt geht es darum herauszufinden, ob an den Nullstellen von $f''$ tatsächlich Wendepunkte vorliegen. Wir nutzen das folgende hinreichende Kriterium: Wenn $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
Aufgabe 3
(a) In der folgenden Tabelle sind bereits etliche Einträge zu finden. Erkläre zunächst diese Einträge.
(b) Ergänze die fehlenden Einträge. Benutze für das Intervall $8 \text{ < } x \text{ < } \infty$ einen geeigneten Testwert.
| Stelle / Intervall | $f''(x)$ | Vorzeichenwechsel | Eigenschaften von $f'$ und $f$ |
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } 2$ | $f''(0) = 1$ $f''(x) > 0$ |
$f'$ ist streng monoton steigend Graph $f$ beschreibt eine Linkskurve |
|
| $x = 2$ | $f''(2) = 0$ | $+/-$ VZW | $f'$ hat einen Hochpunkt $f$ hat einen Wendepunkt |
| $2 \text{ < } x \text{ < } 8$ | $f''(5) = -1/2$ $f''(x) \text{ < } 0$ |
$f'$ ist streng monoton fallend Graph $f$ beschreibt eine Rechtskurve |
|
| $x = 8$ | |||
| $8 \text{ < } x \text{ < } \infty$ |
Schritt 3: Die $y$-Koordinaten bestimmen
Du weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten dieser Punkte.
Aufgabe 4
Bestimme die $y$-Koordinaten der Wendepunkte. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Zur Berechnung der $f(x)$-Werte kann du deinen Taschenrechner oder das folgende Applet oben (mit den passenden Eingaben) nutzen.
Kontrolliere deine Ergebnisse am gezeigten Graph oben.
Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb
Aufgabe 5
Notiere dir die gewählte Vorgehensweise im Wissensspeicher.
