Quadratische Funktionen

Aufgabe 1

Quadratische Funktionen sind ganzrationale Funktionen vom Grad 2. Sie lassen sich allgemein so darstellen:

$f(x)=a{x}^2+bx+c$ mit reellen Zahlen $a,b,c$, wobei $a\ne 0$ vorausgesetzt wird.

Mit dem Applet kannst du die Vorfaktoren $a,b,c$ variieren und die zugehörigen Graphen erzeugen. Beachte, dass du den Fall $a\ne 0$ außer Acht lassen musst.

Zum Herunterladen: extrempunkte_quadratische_funktionen.ggb

(a) Egal, wie man die Vorfaktoren $a,b,c$ mit $a\ne 0$ wählt, man erhält immer eine Funktion mit einem Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt). Prüfe das exemplarisch nach, indem du für die Werte $a=2$, $b=-2$ und $c=-1$ den Extrempunkt mit einem geeigneten Verfahren selbst bestimmst.

(b) F. behauptet, dass der Extrempunkt einer ganzrationalen Funktion $f(x)=a{x}^2+bx+c$ vom Grad $2$ (mit reellen Zahlen $a,b,c$, wobei $a\ne 0$) an der Stelle $x=-\frac{b}{2a}$ liegt. Überprüfe die Behauptung exemplarisch mit Hilfe des Applets.

(c) Jetzt wollen wir die Aussage aus (b) auch beweisen: Zeige mit den bekannten Verfahren, dass jede Funktion $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (mit reellen Zahlen $a,b,c$, wobei $a\ne 0$) einen Extrempunkt an der Stelle $x=-\frac{b}{2a}$ hat.