Exkurs - Bestimmung von Nullstellen

Zur Orientierung

In den vorangegangenen Abschnitten hast du gesehen, dass die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion an Nullstellen der zugehörigen Ableitungsfunktion liegen. Um die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion $f$ rechnerisch zu ermitteln, bestimmt man in einem ersten Schritt die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f'$. Es ist daher wichtig, sich mit der Bestimmung von Nullstellen auszukennen. In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Hilfsmittel kurz zusammengestellt. Eine ausführlichere Darstellung findest du in Kapitel ... .

Den Begriff „Nullstelle“ klären

Die Nullstellen einer Funktion $h$ sind die Stellen, an denen der Graph von $h$ die $x$-Achse schneidet.

Die Nullstellen einer Funktion $h$ erhält man, indem man die Lösungen der Gleichung $h(x) = 0$ bestimmt.

Zum Herunterladen: nullstellentool2.ggb

Das Applet nutzt den Funktionsbezeichner $h$, weil sie für ganz unterschiedliche Zwecke genutzt werden soll (Nullstellen einer Ausgangsfunktion $f$, Nullstellen der Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$).

Ein Tool zur Nullstellenbestimmung nutzen

Mit dem Applet oben lassen sich – in vielen Fällen – die Nullstellen einer vorgegebenen Funktion bestimmen. Man muss hierzu nur den Funktionsterm in das Eingabefeld eingeben und den Button [Nullstellen der Funktion] anklicken.

Aufgabe 1

Probiere das selbst mit den folgenden Funktionen aus.

• $f(x) = 2x-4$
• $f(x) = 4x^2 - 8x - 12$
• $f'(x) = x^4 - x^2$

Nullstellen rechnerisch bestimmen

Fall 1: Nullstellen einer linearen Funktion mit Äquivalenzumformungen bestimmen

Bed.: $h(x) = 0$

$\begin{array}{lcl} 2x - 4 & = & 0 \\ 2x & = & 4 \\ x & = & 2 \end{array}$

Ergebnis: Die gesuchte Nullstelle ist $x = 2$.

Fall 2: Nullstellen einer quadratischen Funktion mit einer Lösungsformel bestimmen

Wir benutzen die a-b-c-Formel:

Die quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ (mit $a \neq 0$) hat die Lösungen $x_{1,2} = \displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$. Beachte, dass hier auch der Fall eintreten kann, dass es keine Lösung gibt, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel vorliegt.

Mit $h(x) = \underbrace{4}_{a} x^2 + \underbrace{-8}_{b} x + \underbrace{-12}_{c}$ erhält man:

$x_{1,2} = \displaystyle{\frac{8 \pm \sqrt{256}}{8}} = 1 \pm 2$

Ergebnis: Die gesuchten Nullstellen sind $x = -1$ und $x = 3$.

Fall 3: Nullstellen einer komplexeren Funktion mit einer Faktorisierung bestimmen

Durch Ausklammern erhält man $h(x) = x^2 \cdot (x^2 - 1)$.

Ein Produkt ergibt $0$ genau dann, wenn mindestens einer der Faktoren die $0$ ergibt. Man erhält also:

$\begin{array}{lcl} h(x) = 0 & \Leftrightarrow & x^2 = 0 \text{ oder } x^2 - 1 = 0 \\ & \Leftrightarrow & x = 0 \text{ oder } x^2 = 1 & \Leftrightarrow & x = 0 \text{ oder } x = -1 \text{ oder } x = 1 \end{array}$

Ergebnis: Die gesuchten Nullstellen sind $x = -1$ und $x = 0$ und $x = 1$.

Aufgabe 2

Bestimme rechnerisch die Nullstellen der folgenden Funktionen. Nutze das Nullstellentool zur Kontrolle der Ergebnisse.

• $f(x) = -0.2x+2$
• $f(x) = x^2 - 6x +9$
• $f'(x) = x^4 - 4x^2$
• $g(x) = 0.5x^2+1$

Die Vorgehensweise verabreden

Wir werden hier folgenden Weg einschlagen. In einfachen Fällen solltest du die Nullstellen rechnerisch bestimmen können. Einfache Fälle sind lineare und quadratische Funktionen sowie komplexere Funktionen, bei denem man einen offensichtlichen Faktor direkt vorklammern kann. In allen anderen Fällen solltest du ein bereitgestelltes Nullstellentool benutzen. Ein solches Tool solltest du auch in einfachen Fällen zur Kontrolle einsetzen. Du solltest das Tool auch nutzen, wenn es nicht primär um eine Nullstellenbestimmung geht und der Fokus auf weiterführenden Überlegungen liegt. Das Tool ist dann ein Hilfsmittel, um schneller und fehlerfrei zum Ziel zu gelangen.