Bestimmung lokaler Extrema
- Die Bestimmung lokaler Extrema spielt bei Optimierungsproblemen eine zentrale Rolle. In diesem Kapitel werden die fachlichen Grundlagen
hierfür erarbeitet. Dabei stehen Beziehungen zwischen Ausgangsfunktion und ihrer Ableitungsfunktion im Vordergrund. Der Anwendungsaspekt
wird als inhaltliche Motiviation für diese Untersuchungen genutzt, systematisch erarbeitet wird er aber erst in einem weiteren Kapitel.
- Bei der Durchdringung der Zusammenhänge spielen logische Wenn-Dann-Beziehungen eine wichtige Rolle. Das Kapitel bietet die Möglichkeit,
diese auch im Alltag allgegenwärtigen Beziehungen fokussiert zu thematisieren und zu reflektieren. Der
Exkurs - Wenn-Dann-Aussagen
liefert hierfür passendes Material.
- Die Applets zur Erkundung von Zusammenhängen sind jeweils so konzipiert, dass sie die zu erschließenden logischen Beziehungen berücksichtigen.
Wenn z.B. das Vorzeichenwechselkriterium erschlossen werden soll, dann ist zunächst nur die Information über die Ableitungsfunktion
in der Umgebung von kritischen Stellen zu sehen. Nach und nach kann hieraus neue Information erschlossen und im Applet dann auch angezeigt werden.
- Die Argumentationen basieren auf inhaltlichen und anschauungsgebundenen Begründungen. Das ist im Grundfach angebracht.
Fundiertere Überlegungen (wie z.B. der Monotoniesatz) werden punktuell als Vertiefungen ausgewiesen. Im Grundfach können sie übergangen werden.
Worum geht es hier?
Bei vielen Bestandsentwicklungen interessiert man sich dafür, wann der Bestand einen maximalen oder minimalen Wert erreicht.
Wenn man die Bestandsentwicklung mit einer Funktion beschreibt, dann werden lokal maximale bzw. minimale Werte in den Hoch- und Tiefpunkten
des Funktionsgraphen erreicht.
In diesem Kapitel geht es darum, die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion rechnerisch zu bestimmen. Dabei spielt die Ableitungsfunktion
eine zentrale Rolle.
Für dieses Thema musst du ...
- ... sicher mit Funktionen umgehen können.
- ... das Konzept der Ableitung an einer Stelle verstanden haben.
- ... das Konzept der Ableitungsfunktion verstanden haben.
Hier lernst du, ...
- ... wie man Monotonieintervalle und Hoch-/Tiefpunkte einer Funktion mit Hilfe von Ableitungen bestimmt.
- ... was notwendige und hinreichende Bedingungen für eine Eigenschaft sind.
- ... wie man mathematische Zusammenhänge mit Wenn-Dann-Aussagen formuliert.
