Strukturierung - Bestimmung von Nullstellen
Den Begriff „Nullstelle“ klären
Nullstelle einer Funktion
Die Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet.
Die Nullstellen einer Funktion $f$ erhält man, indem man die Lösungen der Gleichung $f(x) = 0$ bestimmt.
Nullstellen rechnerisch bestimmen
Aufgabe 1: Nullstellen einer linearen Funktion mit Äquivalenzumformungen bestimmen
geg.: $f(x) = 2x - 4$
ges.: Nullstellen von $f$
Aufgabe 2: Nullstellen einer quadratischen Funktion mit einer Lösungsformel bestimmen
geg.: $f(x) = 4x^2 - 8x - 12$
ges.: Nullstellen von $f$
Aufgabe 3: Nullstellen einer komplexeren Funktion mit einer Faktorisierung bestimmen
geg.: $f(x) = x^4 - x^2$
ges.: Nullstellen von $f$
Ein Tool zur Nullstellenbestimmung nutzen
Im Applet lassen sich – in vielen Fällen – die Nullstellen einer vorgegebenen Funktion bestimmen. Man muss hierzu nur den Funktionsterm in das Eingabefeld eingeben und den Button [Nullstellen der Funktion] anklicken.
Zum Herunterladen: nullstellentool2.ggb
Aufgabe 4
Probiere das selbst mit den folgenden Funktionen aus.
- $f(x) = 2x-4$
- $f(x) = 4x^2 - 8x - 12$
- $f(x) = x^4 - x^2$
Die Vorgehensweise verabreden
Wir werden hier folgenden Weg einschlagen. In einfachen Fällen solltest du die Nullstellen rechnerisch bestimmen können. Einfache Fälle sind lineare und quadratische Funktionen sowie komplexere Funktionen, bei denem man einen offensichtlichen Faktor direkt vorklammern kann. In allen anderen Fällen solltest du ein bereitgestelltes Nullstellentool benutzen. Ein solches Tool solltest du auch in einfachen Fällen zur Kontrolle einsetzen. Du solltest das Tool auch nutzen, wenn es nicht primär um eine Nullstellenbestimmung geht und der Fokus auf weiterführenden Überlegungen liegt. Das Tool ist dann ein Hilfsmittel, um schneller und fehlerfrei zum Ziel zu gelangen.
Aufgabe 5
Bestimme rechnerisch die Nullstellen der folgenden Funktionen. Nutze das Nullstellentool zur Kontrolle der Ergebnisse.
- $f(x) = -0.2x+2$
- $f(x) = x^2 - 6x +9$
- $f'(x) = x^4 - 4x^2$
- $g(x) = 0.5x^2+1$