Strukturierung – Bestimmung von Nullstellen

Den Begriff „Nullstelle“ klären

Die Nullstellen einer Funktion $f$ erhält man, indem man die Lösungen der Gleichung $f(x) = 0$ bestimmt.

Nullstellen rechnerisch bestimmen

Aufgabe 1: Nullstellen einer linearen Funktion mit Äquivalenzumformungen bestimmen

geg.: $f(x) = 2x - 4$

ges.: Nullstellen von $f$

Hinweis

Löse die Gleichung $f(x) = 0$ nach $x$ auf.

Zur Kontrolle

Bed.: $f(x) = 0$

$\begin{array}{lcl} 2x - 4 & = & 0 \\ 2x & = & 4 \\ x & = & 2 \end{array}$

Ergebnis: Die gesuchte Nullstelle ist $x = 2$.

Aufgabe 2: Nullstellen einer quadratischen Funktion mit einer Lösungsformel bestimmen

geg.: $f(x) = 4x^2 - 8x - 12$

ges.: Nullstellen von $f$

Hinweis

Benutze die a-b-c-Formel:

Die quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ (mit $a \neq 0$) hat die Lösungen $x_{1,2} = \displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$. Beachte, dass hier auch der Fall eintreten kann, dass es keine Lösung gibt, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel vorliegt.

Zur Kontrolle

Mit $f(x) = \underbrace{4}_{a} x^2 + \underbrace{-8}_{b} x + \underbrace{-12}_{c}$ erhält man:

$x_{1,2} = \displaystyle{\frac{8 \pm \sqrt{256}}{8}} = 1 \pm 2$

Ergebnis: Die gesuchten Nullstellen sind $x = -1$ und $x = 3$.

Aufgabe 3: Nullstellen einer komplexeren Funktion mit einer Faktorisierung bestimmen

geg.: $f(x) = x^4 - x^2$

ges.: Nullstellen von $f$

Hinweis

Klammere $x^2$ im Funktionsterm $x^4 - x^2$ aus.

Zur Kontrolle

Durch Ausklammern erhält man $f(x) = x^2 \cdot (x^2 - 1)$.

Ein Produkt ergibt $0$ genau dann, wenn mindestens einer der Faktoren die $0$ ergibt. Man erhält also:

$\begin{array}{lcl} f(x) = 0 & \Leftrightarrow & x^2 = 0 \text{ oder } x^2 - 1 = 0 \\ & \Leftrightarrow & x = 0 \text{ oder } x^2 = 1 & \Leftrightarrow & x = 0 \text{ oder } x = -1 \text{ oder } x = 1 \end{array}$

Ergebnis: Die gesuchten Nullstellen sind $x = -1$ und $x = 0$ und $x = 1$.

Ein Tool zur Nullstellenbestimmung nutzen

Im Applet lassen sich – in vielen Fällen – die Nullstellen einer vorgegebenen Funktion bestimmen. Man muss hierzu nur den Funktionsterm in das Eingabefeld eingeben und den Button [Nullstellen der Funktion] anklicken.

Zum Herunterladen: nullstellentool2.ggb

Aufgabe 4

Probiere das selbst mit den folgenden Funktionen aus.

• $f(x) = 2x-4$
• $f(x) = 4x^2 - 8x - 12$
• $f(x) = x^4 - x^2$

Die Vorgehensweise verabreden

Wir werden hier folgenden Weg einschlagen. In einfachen Fällen solltest du die Nullstellen rechnerisch bestimmen können. Einfache Fälle sind lineare und quadratische Funktionen sowie komplexere Funktionen, bei denen man einen offensichtlichen Faktor direkt vorklammern kann. In allen anderen Fällen solltest du ein bereitgestelltes Nullstellentool benutzen. Ein solches Tool solltest du auch in einfachen Fällen zur Kontrolle einsetzen. Du solltest das Tool auch nutzen, wenn es nicht primär um eine Nullstellenbestimmung geht und der Fokus auf weiterführenden Überlegungen liegt. Das Tool ist dann ein Hilfsmittel, um schneller und fehlerfrei zum Ziel zu gelangen.

Aufgabe 5

Bestimme rechnerisch die Nullstellen der folgenden Funktionen. Nutze das Nullstellentool zur Kontrolle der Ergebnisse.

• $f(x) = -0.2x+2$
• $f(x) = x^2 - 6x +9$
• $f'(x) = x^4 - 4x^2$
• $g(x) = 0.5x^2+1$