Anwendung – Bestimmung von Wendepunkte

Eine Beispielfunktion untersuchen

Aufgabe 1

Verschiebe im folgenden Applet die beweglichen Punkte so, dass sie in etwa die Wendepunkte von Graph $f$ markieren. Stelle so Vermutungen über die Positionen der Wendepunkte auf.

Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb

Die notwendige Bedingung für Wendepunkte anwenden

Wir verwenden die notwendige Bedingung für Wendepunkte, um die kritische Stellen für Wendepunkte zu bestimmen. Nur an diesen Stellen kann Graph $f$ Wendepunkte haben.

Aufgabe 2

Bestimme für die vorgegebene Funktion $f$ die kritischen Stellen für Wendepunkte.

Kontrolle

Zunächst bestimmt man die zweite Ableitung $f''$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

$f''(x) = \frac{15}{56}x^3 - \frac{15}{14}x$

Dann bestimmt man die Nullstellen von $f''(x)$.

• Durch Ausklammern erhält man $x(\frac{15}{56}x^2 - \frac{15}{14})$.
• Es gilt dann: $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x^2 = 4$.
• Also: $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$.

Die kritischen Stellen für die Wendepunkte von $f$ sind also $x = -2$, $x = 0$ und $x = 2$.

Das Vorzeichenwechselkriterium anwenden

Die kritischen Stellen für die Wendepunkte von $f$ sind $x = -2$, $x = 0$ und $x = 2$. Jetzt geht es darum herauszufinden, ob $f''$ an den kritischen Stellen Vorzeichenwechsel hat.

Aufgabe 3

(a) In der folgenden Tabelle sind bereits einige Einträge zu finden. Erkläre zunächst diese Einträge.

(b) Ergänze die fehlenden Einträge. Benutze geeignete Testwerte.

Stelle / Intervall	$f''(x)$	Vorzeichenwechsel	Eigenschaften von $f'$ und $f$
$-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$	$f''(-4) = -\frac{90}{7}$ $f''(x) \text{ < } 0$		$f'$ ist streng monoton fallend Graph $f$ ist rechtsgekrümmt
$x = -2$	$f''(-2) = 0$	$-/+$ VZW	$f'$ hat einen ... $f$ hat einen ...
$-2 \text{ < } x \text{ < } 0$	$f''(-1) = \dots$ $f''(x) \text{ > } 0$		$f'$ ist streng monoton ... Graph $f$ ist ...
$x = 0$
$0 \text{ < } x \text{ < } 2$
$x = 2$
$2 \text{ < } x \text{ < } \infty$

Das Kriterium mit höheren Ableitungen anwenden

Alternativ zum Vorzeichenwechselkriterium kann man ggf. auch mit der 3. Ableitung argumentieren.

Aufgabe 4

(a) Zeige, dass man für $f'''$ folgende Darstellung erhält.

$f'''(x) = \frac{45}{56}x^2 - \frac{15}{14}$

(b) Erkläre die Einträge in der ersten Zeile der folgenden Übersicht.

(c) Ergänze die Einträge in den beiden weiteren Zeilen der Übersicht.

(d) Wie kann man argumentieren, dass an der Stelle $x = 0$ ein Sattelpunkt vorliegen müsste?

kritische Stelle	$f'''(x)$	Eigenschaft von $f$
$x = -2$	$f'''(-2) = \frac{15}{7} \neq 0$	Wendepunkt
$x = 0$
$x = 2$

Die $y$-Koordinaten der Wendepunkte berechnen

Aufgabe 5

Du weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten dieser Punkte.

Bestimme die $y$-Koordinaten der Wendepunkte. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Kontrolliere deine Ergebnisse am Graph oben.