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Zusammenfassung – Krümmung bei Funktionsgraphen

Ein Beispiel

Prozesse, in denen sich ein Bestand ständig verändert, können ganz schön kompliziert sein. Günstig ist es dann, wenn man solche Prozesse mit Begriffen beschreiben kann.

Das Applet zeigt einen solchen Prozess mit einer Bestandsfunktion $f$ und der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$, die man als momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Bestandsentwicklung deuten kann.

Im Applet sind auch bereits die Begriffe eingetragen, die zur Charakterisierung von bestimmten Wachstumsarten und von besonderen Punkten benutzt werden.

Zum Herunterladen: wachstumsprozess9.ggb

Charakterisierung verschiedener Wachstumsarten

In der Tabelle findest du eine genauere Erläuterung zu den verschiedenen Wachstumsarten. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um auch die Auswirkungen auf die Wachstumsgeschwindigkeit zu sehen.

Wachstumsart Beispiel Charakterisierung
beschleunigtes Wachstum
im gesamten Intervall
- nimmt der Bestand $f(x)$ zu
- nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ zu

Graph $f$ ist
- steigend und
- nach oben bzw. linksgekrümmt
gebremstes Wachstum
im gesamten Intervall
- nimmt der Bestand $f(x)$ zu
- nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ ab

Graph $f$ ist
- steigend und
- nach unten bzw. rechtsgekrümmt
beschleunigter Zerfall
im gesamten Intervall
- nimmt der Bestand $f(x)$ ab
- nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ ab

Graph $f$ ist
- fallend und
- nach unten bzw. rechtsgekrümmt
gebremster Zerfall
im gesamten Intervall
- nimmt der Bestand $f(x)$ ab
- nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ zu

Graph $f$ ist
- fallend und
- nach oben bzw. linksgekrümmt

Das Krümmungsverhalten mit Begriffen präzisieren

In der Tabelle unten werden die oben bereits verwendeten Begriffe linksgekrümmt und rechtsgekrümmt festgelegt. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um den Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$ zu erzeugen.

Begriffsdefinition Beispiel 1 Beispiel 2

Linkskrümmung

Der Graph einer Funktion $f$ ist linksgekrümmt im Intervall $I$ genau dann, wenn $f'$ im Intervall $I$ streng monoton steigend ist.

beschleunigtes Wachstum
gebremster Zerfall

Rechtskrümmung

Der Graph einer Funktion $f$ ist rechtsgekrümmt im Intervall $I$ genau dann, wenn $f'$ im Intervall $I$ streng monoton fallend ist.

gebremstes Wachstum
beschleunigter Zerfall

Den Begriff Wendepunkt präzisieren

In Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen. Die Tabelle verdeutlicht die verschiedenen Möglichkeiten.

Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation 4
Wendepunkt
von rechtsgekrümmt
in linksgekrümmt
Wendepunkt
von linksgekrümmt
in rechtsgekrümmt
Wendepunkt
von rechtsgekrümmt
in linksgekrümmt
Wendepunkt
von linksgekrümmt
in rechtsgekrümmt

Die folgende Definition legt de Begriff Wendepunkt fest.

Wendepunkt

Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ eine Wendestelle, wenn Graph $f$ an der Stelle $x$ von rechts- in linksgekrümmt oder von links- in rechtsgekrümmt übergeht.

Der zugehörige Punkt zu einer Wendestelle heißt Wendepunkt von $f$.

Sattelpunkte als Wendepunkte

Sattelpunkte sind Wendepunkte, in denen die Steigung $0$ beträgt.

Punkt Beispiel Charakterisierung
Sattelpunkt
Version 1
- Wendepunkt von rechtsgekrümmt in linksgekrümmt
- mit der Steigung $0$
Sattelpunkt
Version 2
- Wendepunkt von linksgekrümmt in rechtsgekrümmt
- mit der Steigung $0$

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