Zusammenfassung – Krümmung bei Funktionsgraphen

Ein Beispiel

Prozesse, in denen sich ein Bestand ständig verändert, können ganz schön kompliziert sein. Günstig ist es dann, wenn man solche Prozesse mit Begriffen beschreiben kann.

Das Applet zeigt einen solchen Prozess mit einer Bestandsfunktion $f$ und der zugehörigen Ableitungsfunktion $f^{\prime }$, die man als momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Bestandsentwicklung deuten kann.

Im Applet sind auch bereits die Begriffe eingetragen, die zur Charakterisierung von bestimmten Wachstumsarten und von besonderen Punkten benutzt werden.

Zum Herunterladen: wachstumsprozess9.ggb

Charakterisierung verschiedener Wachstumsarten

In der Tabelle findest du eine genauere Erläuterung zu den verschiedenen Wachstumsarten. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um auch die Auswirkungen auf die Wachstumsgeschwindigkeit zu sehen.

Wachstumsart	Beispiel	Charakterisierung
beschleunigtes Wachstum		Im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ zu - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f^{\prime }(x)$ zu Graph $f$ ist - steigend und - nach oben bzw. linksgekrümmt
gebremstes Wachstum		Im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ zu - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f^{\prime }(x)$ ab Graph $f$ ist - steigend und - nach unten bzw. rechtsgekrümmt
beschleunigter Zerfall		Im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ ab - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f^{\prime }(x)$ ab Graph $f$ ist - fallend und - nach unten bzw. rechtsgekrümmt
gebremster Zerfall		Im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ ab - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f^{\prime }(x)$ zu Graph $f$ ist - fallend und - nach oben bzw. linksgekrümmt

Das Krümmungsverhalten mit Begriffen präzisieren

In der Tabelle unten werden die oben bereits verwendeten Begriffe linksgekrümmt und rechtsgekrümmt festgelegt. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um den Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ zu erzeugen.

Begriffsdefinition	Beispiel 1	Beispiel 2
Linkskrümmung Der Graph einer Funktion $f$ ist linksgekrümmt im Intervall $I$ genau dann, wenn $f^{\prime }$ im Intervall $I$ streng monoton steigend ist.	beschleunigtes Wachstum	gebremster Zerfall
Rechtskrümmung Der Graph einer Funktion $f$ ist rechtsgekrümmt im Intervall $I$ genau dann, wenn $f^{\prime }$ im Intervall $I$ streng monoton fallend ist.	gebremstes Wachstum	beschleunigter Zerfall

Den Begriff Wendepunkt präzisieren

In Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen. Die Tabelle verdeutlicht die verschiedenen Möglichkeiten.

Situation 1	Situation 2	Situation 3	Situation 4
Wendepunkt von rechtsgekrümmt in linksgekrümmt	Wendepunkt von linksgekrümmt in rechtsgekrümmt	Wendepunkt von rechtsgekrümmt in linksgekrümmt	Wendepunkt von linksgekrümmt in rechtsgekrümmt

Die folgende Definition legt de Begriff Wendepunkt fest.

Sattelpunkte als Wendepunkte

Sattelpunkte sind Wendepunkte, in denen die Steigung $0$ beträgt.

Punkt	Beispiel	Charakterisierung
Sattelpunkt Version 1		- Wendepunkt von rechtsgekrümmt in linksgekrümmt - mit der Steigung $0$
Sattelpunkt Version 2		- Wendepunkt von linksgekrümmt in rechtsgekrümmt - mit der Steigung $0$