Zusammenfassung – Krümmung bei Funktionsgraphen
Ein Beispiel
Prozesse, in denen sich ein Bestand ständig verändert, können ganz schön kompliziert sein. Günstig ist es dann, wenn man solche Prozesse mit Begriffen beschreiben kann.
Das Applet zeigt einen solchen Prozess mit einer Bestandsfunktion $f$ und der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$, die man als momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Bestandsentwicklung deuten kann.
Im Applet sind auch bereits die Begriffe eingetragen, die zur Charakterisierung von bestimmten Wachstumsarten und von besonderen Punkten benutzt werden.
Zum Herunterladen: wachstumsprozess9.ggb
Charakterisierung verschiedener Wachstumsarten
In der Tabelle findest du eine genauere Erläuterung zu den verschiedenen Wachstumsarten. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um auch die Auswirkungen auf die Wachstumsgeschwindigkeit zu sehen.
Wachstumsart | Beispiel | Charakterisierung |
beschleunigtes Wachstum |
im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ zu - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ zu Graph $f$ ist - steigend und - nach oben bzw. linksgekrümmt |
|
gebremstes Wachstum |
im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ zu - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ ab Graph $f$ ist - steigend und - nach unten bzw. rechtsgekrümmt |
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beschleunigter Zerfall |
im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ ab - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ ab Graph $f$ ist - fallend und - nach unten bzw. rechtsgekrümmt |
|
gebremster Zerfall |
im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ ab - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ zu Graph $f$ ist - fallend und - nach oben bzw. linksgekrümmt |
Das Krümmungsverhalten mit Begriffen präzisieren
In der Tabelle unten werden die oben bereits verwendeten Begriffe linksgekrümmt und rechtsgekrümmt festgelegt. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um den Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$ zu erzeugen.
Begriffsdefinition | Beispiel 1 | Beispiel 2 |
LinkskrümmungDer Graph einer Funktion $f$ ist linksgekrümmt im Intervall $I$ genau dann, wenn $f'$ im Intervall $I$ streng monoton steigend ist. |
beschleunigtes Wachstum | gebremster Zerfall |
RechtskrümmungDer Graph einer Funktion $f$ ist rechtsgekrümmt im Intervall $I$ genau dann, wenn $f'$ im Intervall $I$ streng monoton fallend ist. |
gebremstes Wachstum | beschleunigter Zerfall |
Den Begriff Wendepunkt
präzisieren
In Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen. Die Tabelle verdeutlicht die verschiedenen Möglichkeiten.
Situation 1 | Situation 2 | Situation 3 | Situation 4 |
---|---|---|---|
Wendepunkt von rechtsgekrümmt in linksgekrümmt |
Wendepunkt von linksgekrümmt in rechtsgekrümmt |
Wendepunkt von rechtsgekrümmt in linksgekrümmt |
Wendepunkt von linksgekrümmt in rechtsgekrümmt |
Die folgende Definition legt de Begriff Wendepunkt
fest.
Wendepunkt
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ eine Wendestelle, wenn Graph $f$ an der Stelle $x$ von rechts- in linksgekrümmt oder von links- in rechtsgekrümmt übergeht.
Der zugehörige Punkt zu einer Wendestelle heißt Wendepunkt von $f$.
Sattelpunkte als Wendepunkte
Sattelpunkte sind Wendepunkte, in denen die Steigung $0$ beträgt.
Punkt | Beispiel | Charakterisierung |
Sattelpunkt Version 1 |
- Wendepunkt von rechtsgekrümmt in linksgekrümmt - mit der Steigung $0$ |
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Sattelpunkt Version 2 |
- Wendepunkt von linksgekrümmt in rechtsgekrümmt - mit der Steigung $0$ |