Zusammenfassung – Krümmung bei Funktionsgraphen

Ein Beispiel

Prozesse, in denen sich ein Bestand ständig verändert, können ganz schön kompliziert sein. Günstig ist es dann, wenn man solche Prozesse mit Begriffen beschreiben kann.

Das Applet zeigt einen solchen Prozess mit einer Bestandsfunktion $f$ und der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$. Die Ableitung $f'$ kann man als momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Bestandsentwicklung deuten kann.

Im Applet sind auch bereits die Begriffe eingetragen, die zur Charakterisierung von bestimmten Wachstumsarten und von besonderen Punkten benutzt werden.

Zum Herunterladen: wachstumsprozess9.ggb

Charakterisierung verschiedener Wachstumsarten

In der Tabelle findest du eine genauere Erläuterung zu den verschiedenen Wachstumsarten. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um auch die Auswirkungen auf die Wachstumsgeschwindigkeit zu sehen.

Wachstumsart	Beispiel	Charakterisierung
beschleunigtes Wachstum		Im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ zu - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ zu Graph $f$ ist - steigend und - nach oben bzw. linksgekrümmt
gebremstes Wachstum		Im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ zu - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ ab Graph $f$ ist - steigend und - nach unten bzw. rechtsgekrümmt
beschleunigter Zerfall		Im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ ab - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ ab Graph $f$ ist - fallend und - nach unten bzw. rechtsgekrümmt
gebremster Zerfall		Im gesamten Intervall - nimmt der Bestand $f(x)$ ab - nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ zu Graph $f$ ist - fallend und - nach oben bzw. linksgekrümmt

Das Krümmungsverhalten mit Begriffen präzisieren

In der Tabelle unten werden die oben bereits verwendeten Begriffe linksgekrümmt und rechtsgekrümmt festgelegt. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um den Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$ zu erzeugen.

Begriffsdefinition	Beispiel 1	Beispiel 2
Linkskrümmung Der Graph einer Funktion $f$ ist linksgekrümmt im Intervall $I$ genau dann, wenn $f'$ im Intervall $I$ streng monoton steigend ist.	beschleunigtes Wachstum	gebremster Zerfall
Rechtskrümmung Der Graph einer Funktion $f$ ist rechtsgekrümmt im Intervall $I$ genau dann, wenn $f'$ im Intervall $I$ streng monoton fallend ist.	gebremstes Wachstum	beschleunigter Zerfall

Hinreichende Bedingung für Krümmungsverhalten

Das folgende Applet verdeutlicht Zusammenhänge zwischen der Ausgangsfunktion $f$ und den Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.

Anleitung für das Applet

• Im oberen Fenster ist der Graph einer Ausgangsfunktion $f$ dargestellt. Im mittleren Fenster ist die zugehörige 1. Ableitungsfunktion $f'$ und im unteren Fenster die zugehörige 2. Ableitungsfunktion $f''$ zu sehen.
• Mit dem Schieberegler ganz oben kann man ein Intervall einstellen. Im betrachteten Intervall sind die Graphen mit durchgezogenen Linien dargestellt, außerhalb des Intervalls mit gestrichelten Linien.

Zum Herunterladen: kruemmung_hinreichende_bedingung.ggb

Mit dem Monotoniesatz erhält man diese Folgerungsketten:

Eigenschaft von $f''$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f'$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f''$ ist positiv im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f'$ ist streng monoton steigend im Intervall $I$	$\Rightarrow$	Graph $f$ ist linksgekrümmt im Intervall $I$
$f''$ ist negativ im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f'$ ist streng monoton fallend im Intervall $I$	$\Rightarrow$	Graph $f$ ist rechtsgekrümmt im Intervall $I$

Hieraus ergeben sich hinreichende Bedingungen für das Krümmungsverhalten einer Funktion.