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Zusammenfassung – Nullstellen

Die Grundidee

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die Stellen, an denen der Graph von $f$ die $x$ -Achse schneidet.

Im vorgegebenen Beispiel im Applet schneidet Graph $f$ die $x$ -Achse an den Stelle $x = - 2$ , $x = 0$ und $x = 1$ . Diese drei $x$ -Werte sind somit die Nullstellen der Funktion $f$ mit $f (x) = x^{4} + x^{3} - 2 x^{2}$ .

Eine Präzisierung

Die Präzisierung des Nullstellenbegriffs ist recht einfach.

Nullstelle einer Funktion

Eine Zahl $x$ aus der Definitionsmenge der Funktion $f$ ist eine Nullstelle von $f$ genau dann, wenn die Bedingung $f (x) = 0$ erfüllt ist.

Bestimmung von Nullstellen

Um die Nullstellen einer Funktion $f$ zu ermitteln, muss man die Lösungen der Gleichung $f (x) = 0$ bestimmen. Im oben gezeigten Beispiel führt das zur folgenden Gleichung:

Bedingung: $x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} = 0$

Das Lösen solcher Gleichungen ist ein Problem für sich. In einfachen Fällen kann man Verfahren benutzen, die bereits in der Mittelstufe behandelt wurden. Die zu lösende Gleichung kann aber auch sehr komplex sein. In den vorangehenden Abschnitten wurden Verfahren aufgezeigt, die man bei komplexen Gleichungen versucht anzuwenden.

Ein sehr wichtiges Verfahren beruht auf der Faktorisierung des Funktionsterms. Man versucht mit geeigneten Methoden den Funktionsterm der Funktion in ein Produkt aus Teiltermen umzuformen. Wenn die Teilterme eine recht einfache Struktur haben, dann kann man die Nullstellen direkt ablesen. Im Beispiel oben erhält man:

Faktorisierung: $x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} = x^{2} \cdot (x^{2} + x - 2)$

Diese Produktform ist für die Nullstellenbestimmung günstig, weil man folgenden grundlegenden Zusammenhang nutzen kann: Ein Produkt aus zwei Zahlen ergibt $0$ genau dann, wenn mindestens eine Zahl die $0$ ist. Übertragen auf Terme lässt sich dann hieraus folgern.

Nullstellen bei einer Faktorisierung

Die Zahl $a$ ist eine Lösung der Gleichung $p (x) \cdot q (x) = 0$ genau dann, wenn $a$ eine Lösung von $p (x) = 0$ oder von $q (x) = 0$ oder von beiden Gleichungen ist.

Die Lösungen der Gleichung $x^{2} \cdot (x^{2} + x - 2) = 0$ erhält man jetzt so:

$\begin{array}{lcl} x^{2} \cdot (x^{2} + x - 2) = 0 & \Leftrightarrow & x^{2} = 0 oder x^{2} + x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 oder x = - 2 oder x = 1 \end{array}$

Zur Bestimmung der Lösungen von $x^{2} + x - 2 = 0$ kann man z.B. die a-b-c-Formel benutzen.

Hinweis

Die Berechnung von Nullstellen ist sehr fehleranfällig – insbesondere, wenn der Funktionsterm komplex ist. In den weiteren Kapiteln stellen wir daher oft mathematische Werkzeuge zur Verfügung, die einem die Rechenarbeit abnehmen.