Problem 5

Aufgabe

Im Applet ist der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{4}$ dargestellet – allerdings nur im Intervall $-\infty \lt x \le 1$. Unklar ist noch, wie der Graph weiterverläuft.

Zum Herunterladen: problem5.ggb

(a) Zeige erst einmal, dass die 1. Winkelhalbierende (im Applet die blau gestrichelte Gerade) eine Tangente an Graph $f$ bildet.

(b) Zeige, dass man $f''$ mit der Funktionsgleichung $f''(x) = 3(x-1)^2$ beschreiben kann.

(c) Welche Schlüsse kann man aus $f''(x) = 3(x-1)^2$ ziehen? Beurteile die Aussagen und korrigiere sie gegebenenfalls.

• Die Funktion $f$ hat maximal $1$ Wendepunkt.
• Die Funktion $f$ hat einen Wendepunkt an der Stelle $x = 1$.
• Die Funktion ist im Intervall $-\infty \lt x \lt 1$ linksgekrümmt.
• Die Funktion ist im Intervall $1 \lt x \lt \infty$ rechtsgekrümmt.

(d) Nutze die Ergebnisse aus (c) um den weiteren Verlauf von Graph $f$ zu skizzieren.