Erarbeitung – Vorzeichenwechselkriterium

Eine hinreichende Bedingung für lokale Extrema entwickeln

Im folgenden Applet wird Graph $f'$ jeweils in einer kleinen Umgebung um die betrachtete Stelle $x$ angezeigt. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.

Zum Herunterladen: lokale_extrema_hinreichende_bedingung2.ggb

Aufgabe 1

(a) Begründe, dass in der im Applet voreingestellten Situation Graph $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt haben muss. Benutze dabei, dass das Steigen und Fallen des Funktionsgraphen vom Verlauf von Graph $f'$ abhängt: Wenn Graph $f'$ im positiven (bzw. negativen) Bereich verläuft, dann ....

Stelle / Intervall	$f'(x)$	Eigenschaft von $f$
$-2.2 \lt x \lt -2$	$f'(x) > 0$	...
$x = -2$	$f'(-2) = 0$	Hochpunkt
$-2 \lt x \lt -1.8$	$f'(x) \lt 0$	...

Überzeuge dich davon, indem du mit dem Schieberegler $u_0$ eine kleine Umgebung von Punkt $P$ aufdeckst.

(b) Untersuche entsprechend die kritische Stelle $x = 2$ und ergänze die Einträge in der Übersicht.

Stelle / Intervall	$f'(x)$	Eigenschaft von $f$
		...
$x = 2$
		...

(c) Untersuche auch die kritische Stelle $x = 0$ und ergänze die Einträge in der Übersicht.

Stelle / Intervall	$f'(x)$	Eigenschaft von $f$
		...
$x = 0$
		...

Aufgabe 2

(a) Wie kann man mit Hilfe einer kleinen Umgebung erkennen, ob an einer kritischen Stelle ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Ergänze in der Tabelle passende Bedingungen an $f'$, so dass die jeweiligen Folgerungsaussagen korrekt sind.

Eigenschaft von $f'$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.

Hinweise zur Formulierung der Bedingungen

• $f'$ wechselt an der Stelle $x$ von positiven zu negativen Werten bzw.
  $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel.
• $f'$ wechselt an der Stelle $x$ von negativen zu positiven Werten bzw.
  $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel.
• $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel bzw.
  $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/+$-Verhalten oder mit einem einem $-/-$-Verhalten.

(b) Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: „Wenn ..., dann folgt daraus, dass ...“) und ergänze so den folgenden Satz. Erläutere, warum man die Wenn-Teilaussage als hinreichende Bedingung zur Dann-Teilaussage bezeichnet. Sichere die Ergebnisse auch im Wissensspeicher.