Anwendung der Kriterien

Aufgabe 1

Die Grafik zeigt das bisherige und prognostizierte Wachstum der Weltbevölkerung. Auf der $x$-Achse sind die Jahre ab 2000 abgetragen (d.h.: der $x$-Wert $80$ entspricht dem Jahr 2080, der $x$-Wert $-40$ dem Jahr 1960). Auf der $y$-Achse ist die Bevölkerungszahl in Milliarden abgetragen.

Zum Herunterladen: weltbevoelkerung.ggb

Die Entwicklung der Weltbevölkerungszahl wird hier mit der Funktion $f$ mit $f(x) = -0.000002 x^3 - 0.00016 x^2 + 0.077 x + 6.24$ modelliert.

(a) Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Weltbevölkerung (nach der Prognose) den maximalen Wert annimmt. Bestimme auch den erwarteten maximalen Wert.

(b) Bestimme den Wendepunkt der Funktion $f$. Deute den entsprechenden Zeitpunkt im Kontext Bevölkerungswachstum.

Für die Berechnung der Nullstellen kannst du das folgende Werkzeug benutzen.

Aufgabe 2

Die Grafik zeigt die prognostizierte Kostenentwicklung eines Unternehmens bei der Herstellung eines Produkts. Auf der $x$-Achse ist die Produktmenge in einer Mengeneinheit (z.B. 1 ME = 1000 Stück) abgetragen, auf der $y$-Achse die Kosten in einer Geldeinheit (z.B. 1 GE = 20 €).

Zum Herunterladen: kostenentwicklung.ggb

(a) Deute die Kostenentwicklung. Markiere den Wendepunkt des Graphen. Erläutere die Bedeutung dieses Wendepunkte im Kontext Kostenentwicklung.

(b) Die Kostenentwicklung lässt sich mit der Funktion $k$ mit $k(x) = 0.1 x^3 - 3 x^2 + 55 x + 200$ modellieren. Bestimme den Wendepunkt bei dieser Kostenentwicklung.

(c) Das Unternehmen erzielt beim Verkauf des Produkts einen Erlös, der sich mit der Funktion $e$ mit $e(x) = 60x$ beschreiben lässt. Der Gewinn des Unternehmens kann dann mit der Funktion $g$ mit $g(x) = e(x) - k(x) = -0.1 x^3 + 3 x^2 + 5 x - 200$ beschrieben werden. Ermittle, bei welcher Mengeneinheit ein maximaler Gewinn erwirtschaftet wird.

Für die Berechnung der Nullstellen kannst du das folgende Werkzeug benutzen.

Aufgabe 3

Kubische Funktionen sind ganzrationale Funktionen vom Grad 3. Sie lassen sich allgemein so darstellen:

$f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d$ mit reellen Zahlen $a, b, c, d$, wobei $a \neq 0$ vorausgesetzt wird.

Mit dem Applet kannst du die Vorfaktoren $a, b, c, d$ variieren und die zugehörigen Graphen erzeugen. Beachte, dass du den Fall $a = 0$ außer Acht lassen musst.

Zum Herunterladen: wendepunkte_kubische_funktionen.ggb

(a) Egal, wie man die Vorfaktoren $a, b, c, d$ mit $a \neq 0$ wählt, man erhält immer eine Funktion mit einem Wendepunkt. Prüfe das exemplarisch nach, indem du für die Werte $a = 1$, $b = -3$, $c = -1$ und $d = 3.5$ den Wendepunkt mit einem geeigneten Verfahren selbst bestimmst.

(b) F. behauptet, dass der Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion $f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d$ vom Grad $3$ (mit reellen Zahlen $a, b, c, d$, wobei $a \neq 0$) an der Stelle $x = -\frac{b}{3a}$ liegt. Überprüfe die Behauptung exemplarisch mit Hilfe des Applets.

(c) Betrachte jetzt die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d$ (mit reellen Zahlen $a, b, c, d$, wobei $a \neq 0$). Zeige mit den bekannten Verfahren, dass jede dieser Funktionen einen Wendepunkt an der Stelle $x = -\frac{b}{3a}$ hat.

Aufgabe 4

Wie viele Wendepunkte kann eine ganzrationale Funktion vom Grad n haben?

(a) Entwickle eine Argumentationskette mit der folgenden Argumentationsbasis (das sind bereits bekannte Zusammenhänge).

• Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen. (Nullstellensatz für ganzrationale Funktionen)
• Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Extrempunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle. (Notwendige Bedingung für lokale Extrema)
• Wenn man einen ganzrationale Funktion vom Grad $n$ ableitet, erhält man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n-1$. (Ableitung ganzrationaler Funktionen)

Formuliere deine Argumentation möglichst präzise. Nutze dabei Formulierungen wie z.B. „Aus Satz ... folgt, dass ...“

(b) Formuliere das Ergebnis als neuer (nachgewiesener) Satz.

Aufgabe 5

Gehe analog zu Aufgabe 5 auf der Seite Übungen – Bestimmung lokaler Extrema vor und betrachte ganzrationale Funktionen vom Grad 4. Das sind Funktionen der Gestalt $f(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ mit reellen Zahlen $a_4, a_3, a_2, a_1, a_0$, wobei zusätzlich $a_4 \neq 0$ vorausgesetzt wird. Ziel dieser Aufgabe ist es, die folgende Frage zu klären: Wie sehen die Graphen ganzrationaler Funktionen vom Grad 4 aus, wie viele Hoch- und Tiefpunkte sowie Wende- bzw. Sattelpunkte können sie haben?

Mit dem folgenden Applet kannst du experimentell vorgehen. Mit den Schiebereglern im unteren Fenster kannst du Graph $f'$ variieren. Zusätzlich kannst du den Punkt auf Graph $f'$ nach oben und unten bewegen. Es ergeben sich hierdurch verschiedene Typen von Graphen. Die $y$-Achse wurde im Applet weggelassen, da sie für die Argumentationen keine Rolle spielz. Mit dem Punkt im oberen Fenster kannst du die Lage der $x$-Achse variieren. Auch diese Lage spielt für die Argumentationen hier keine Rolle.

Zum Herunterladen: grad4.ggb

Erstelle selbstständig eine Tabelle, in der die möglichen Verläufe der Graphen von ganzrationalen Funktionen vom Grad 4 anhand von Beispielen dargestellt werden. Beachte, dass du für Graph $f'$ alle relevanten Fälle durchspielst. Achte insbesondere auf die Nullstellen und Extrempunkte von $f'$.