Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte mit der ersten Ableitung
Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion berücksichtigen
Ob eine Nullstellen von $f'$ tatsächlich einen Hoch- oder Tiefpunkte markiert, lässt sich mit der Ableitungsfunktion entscheiden.
Im folgenden Applet wird Graph $f'$ jeweils in einer kleinen Umgebung um die betrachtete Stelle $x$ angezeigt.
Zum Herunterladen: lokale_extrema_hinreichende_bedingung2.ggb
Betrachte die voreingestelle Stelle $x = -2$. Graph $f'$ wechselt (in einer kleinen Umgebung) an der Stelle $x$ das Vorzeichen von positiven Werten hin zu negativen Werten. Wenn Graph $f'$ im positiven (bzw. negativen) Bereich verläuft, dann ist die Funktion dort streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend). Die Ausgangsfunktion $f$ muss also an der Stelle $x$ einen Hochpunkt (mit einem Monotoniewechsel) haben. Das sieht man im Applet, wenn man mit dem Schieberegler $u_0$ eine kleine Umgebung vom Punkt $P$ aufdeckt.
Entsprechend kann man (an der Stelle $x = 2$) klarmachen, dass ein Vorzeichenwechsel von negativen hin zu positiven Werten an der Stelle $x$ zu einem Tiefpunkt bei Graph $f$ führt.
Das Applet verdeutlicht demnach die folgenden Zusammenhänge:
| Eigenschaft von $f'$ (hinreichende Bedingung) |
hieraus folgt | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|
| $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von positiven zu negativen Werten.) | $\Rightarrow$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. |
| $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von negativen zu positiven Werten.) | $\Rightarrow$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. |
| $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/+$-Verhalten oder einem $-/-$-Verhalten (d.h. $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x$ nicht das Vorzeichen.) | $\Rightarrow$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt. |
Dieser Zusammenhang liefert das Vorzeichenwechselkriterium für Hoch- und Tiefpunkte.
Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte (Vorzeichenwechselkriterium)
Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
Voraussetzung
Der Satz gilt unter der Voraussetzung, dass $f$ in einer Umgebung von $x$ differenzierbar ist.
Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/+$-Verhalten oder einem $-/-$-Verhalten hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.
Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium
Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.
Beispiel
geg.: $f(x) = \frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 0.5$
ges.: kritische Stellen von $f$, an denen Hoch- oder Tiefpunkte liegen können
Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen
Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f'$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.
Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln.
$f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2$
Zur Bestimmung der Nullstellen von $f'$ muss die Bedingung $f'(x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:
$f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1)$
Aus dieser Produktdarstellung von $f'(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:
- $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^2 = 0$ oder $x^2 = 4$
- $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$
Die kritischen Stellen sind demnach $x = 0$ und $x = -2$ und $x = 2$. Nur an diesen Stellen kann ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.
Schritt 2: Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion untersuchen
Jetzt geht es darum herauszufinden, ob bzw. welche Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von $f'$ vorliegen. Hierzu benutzt man Testwerte. Man berechnet $f'(x)$ an Stellen aus den Zwischenintervallen.
| Stelle / Intervall | $f'(x)$ | Vorzeichenwechsel | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$ | $f'(-4) = 48$ $f'(x) > 0$ |
||
| $x = -2$ | $f'(-2) = 0$ | $+/-$ VZW | Hochpunkt |
| $-2 \text{ < } x \text{ < } 0$ | $f'(-1) = -3/4$ $f'(x) \text{ < } 0$ |
||
| $x = 0$ | $f'(0) = 0$ | kein VZW | Sattelpunkt |
| $0 \text{ < } x \text{ < } 2$ | $f'(1) = -3/4$ $f'(x) \text{ < } 0$ |
||
| $x = 2$ | $f'(2) = 0$ | $-/+$ VZW | Tiefpunkt |
| $2 \text{ < } x \text{ < } \infty$ | $f'(4) = 48$ $f'(x) > 0$ |
Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen
Man weiß jetzt, an welchen Stellen Hoch-, Tief- und Sattelpunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten der Punkte.
Zur Bestimmung der $y$-Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.
$f(-2) = \frac{47}{30} \approx 1.57$: Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten $(-2|1.57)$.
$f(0) = 0.5$: Der Sattelpunkt hat somit die Koordinaten $(0|0.5)$.
$f(2) = -\frac{17}{30} \approx -0.57$: Der Tiefpunkt hat somit die Koordinaten $(2|-0.57)$.
