Eine Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte
Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion berücksichtigen
Ob eine Nullstellen von
Anleitung für das Applet
- Im unteren Fenster kann man mit Hilfe der Schieberegler den Verlauf der Ableitungsfunktion
in der Umgebung einer Nullstelle variieren. - Im oberen Fenster wird passend zur eingestellten Ableitungsfunktion der Graph der Ausgangsfunktion angezeigt.
- Mit dem Schieberegler
kann man den Graph der Ausgangsfunktion nach oben und unten verschieben. Hiermit soll angedeutet werden, dass man die Ausgangsfunktion aus der Ableitungsfunktion nur bis auf eine additive Konstante rekonstruieren kann.
Zum Herunterladen: vzwkriterium.ggb
Experimente mit dem Applet verdeutlichen die folgenden – anschaulich plausiblen – Zusammenhänge:
Eigenschaft von (hinreichende Bedingung) | hieraus folgt | Eigenschaft von |
---|---|---|
| | |
| | |
| | |
Dieser Zusammenhang liefert das Vorzeichenwechselkriterium für Hoch- und Tiefpunkte.
Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte (Vorzeichenwechselkriterium)
Wenn
Wenn
Wenn
Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium
Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.
Beispiel
geg.:
ges.: kritische Stellen von
Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen
In Schritt 1 werden die Überlegungen aus dem letzten Abschnitt wiederholt.
Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion
Die Ableitungsfunktion
Zur Bestimmung der Nullstellen von
Aus dieser Produktdarstellung von
genau dann, wenn oder genau dann, wenn oder oder
Die kritischen Stellen sind demnach
Schritt 2: Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion untersuchen
Jetzt geht es darum herauszufinden, ob bzw. welche Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von
Stelle / Intervall | Vorzeichenwechsel | Eigenschaft von | |
---|---|---|---|
Hochpunkt | |||
kein VZW | Sattelpunkt | ||
Tiefpunkt | |||
Schritt 3: -Koordinaten bestimmen
Man weiß jetzt, an welchen Stellen Hoch-, Tief- und Sattelpunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die
Zur Bestimmung der