Erarbeitung – Kriterium mit höheren Ableitungen

Eine hinreichende Bedingung für lokale Extrema entwickeln

Interessant wäre, wenn man nur Information über Ableitungswerte an der Stelle $x$ für die Entscheidungen heranziehen müsste. Mit dem folgenden Applet kannst du das untersuchen. Bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.

Anleitung für das Applet

• Ziel ist es, Vorhersagen über den Graph von $f$ (im oberen Koordinatensystem) in der Umgebung des Punktes $P$ zu treffen. Dabei kann man die Information über die 1. und 2. Ableitung an der betreffenden Stelle verwenden. Zum Punkt $P$ im oberen Koordinatensystem wird hierzu ein zugehöriger (blau dargestellter) Punkt $Q$ im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion $f'$ sowie ein zugehöriger (grün dargestellter) Punkt $R$ im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion $f''$ erzeugt. Während $P$ den Funktionswert $f(x)$ an der Stelle $x$ veranschaulicht, verdeutlicht $Q$ die Ableitung $f'(x)$ und $R$ die 2. Ableitung $f''(x)$ an der Stelle $x$.
• Überprüfen kann man Vorhersagen über den Graph von $f$, indem man die Umgebung um den Punkt $P$ mit dem Schieberegler $u_0$ sichtbar macht. Für $u_0 = 0$ wird nur die Stelle $x$ angezeigt, für $u_0 = 4$ erhält man den kompletten Graph im Fenster. Wozu das gut ist, wird in den Aufgaben geklärt. Probiere das einmal aus und stelle dann wieder den Ausgangswert $u_0 = 0$ ein.
• Mit den Schiebereglern $u_1$ und $u_2$ kann man analog den Graph der Funktion $f'$ bzw. $f''$ in der Umgebung der jeweiligen Punkte sichtbar machen. Probiere das einmal aus und stelle dann wieder die Ausgangswerte $u_1 = 0$ und $u_2 = 0$ ein.
• Die Position des Punktes $P$ auf dem (unsichtbaren) Graph $f$ kann man mit dem Schieberegler $x$ ganz oben einstellen. Probiere das einmal aus. Der Punkt $P$ springt dann an neue Positionen – aber nur innerhalb des gesetzten Rahmens für das Koordinatensystem. Beachte, dass man $P$ nur in voreingestellten Abständen bewegen kann. Das dient dazu, dass man Punkte von Interesse möglichst schnell einstellen kann.
• Die Schaltflächen auf der linken Seite dienen dazu, Situationen von besonderem Interesse einzustellen.
• Mit dem Kontrollkästchen [Variationen] kann man einen Schieberegler einblenden, mit dem man Graph $f$ nach oben und unten verschieben kann.

Zum Herunterladen: hinreichende_bedingung_extrema_hoehere_ableitungen.ggb

Aufgabe 1

(a) Betrachte die Situation 1 mit den Vorgaben $f'(x) = 0$ und $f''(x) \lt 0$. Verdeutliche diese Vorgaben im Applet. Die folgenden Aussagen können dich dabei leiten.

• Der Punkt $R$ zur Verdeutlichung von $f''(x)$ liegt unterhalb der $x$-Achse.
• Der Punkt $Q$ zur Verdeutlichung von $f'(x)$ liegt auf der $x$-Achse.
• Die Steigung im Punkt $Q$ (dargestellt durch die grün gestrichelte Gerade) entspricht $f''(x)$. Sie ist also negativ.
• Über den Punkt $P$ zur Verdeutlichung von $f(x)$ gibt es keine Vorgabe. Man kann ihn mit dem Schieberegler $c$ nach oben und unten bewegen.
• Die Steigung im Punkt $P$ (dargestellt durch die blau gestrichelte Gerade) entspricht $f'(x)$. Sie hat den Wert $0$.

(b) Begründe mit den Vorgaben aus (a), dass $f'$ an der Stelle $x$ einen $+/-$-Vorzeichenwechsel haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler $u_1 = 0.3$ einstellst. Der (blau eingefärbte) Graph von $f'$ wird dann in dieser Umgebung angezeigt.

(c) Begründe mit dem Wissen aus (b), dass $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler $u_0 = 0.3$ einstellst. Der (scharz eingefärbte) Graph von $f$ wird dann in dieser Umgebung angezeigt.

(d) Mit dem Schieberegler $c$ kannst du jetzt den Punkt $P$ (und damit auch Graph $f$) nach oben und unten verschieben. Mache dir so klar, dass die Überlegungen in (a), (b) und (c) unabhängig von der $y$-Koordinate des Punktes $P$ sind.

(e) Verdeutliche die Überlegungen im Wissensspeicher.

Aufgabe 2

(a) Betrachte analog die Situation 2 mit den Vorgaben $f'(x) = 0$ und $f''(x) > 0$. Verdeutliche im Applet diese Vorgaben.

• Der Punkt $R$ zur Verdeutlichung von $f''(x)$ liegt ...
• Der Punkt $Q$ zur Verdeutlichung von $f'(x)$ liegt ...
• Die Steigung im Punkt $Q$ (dargestellt durch die grün gestrichelte Gerade) entspricht $f''(x)$. Sie ist also ...
• Über den Punkt $P$ zur Verdeutlichung von $f(x)$ gibt es keine Vorgabe. Man kann ihn mit dem Schieberegler $c$ ...
• Die Steigung im Punkt $P$ (dargestellt durch die blau gestrichelte Gerade) entspricht $f'(x)$. Sie hat den Wert ...

(b) Begründe mit den Vorgaben aus (a), dass $f'$ an der Stelle $x$ einen $-/+$-Vorzeichenwechsel haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler $u_1 = 0.3$ einstellst. Der (blau eingefärbte) Graph von $f'$ wird dann in dieser Umgebung angezeigt.

(c) Begründe mit dem Wissen aus (b), dass $f$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt haben muss. Überprüfe, indem du den Schieberegler $u_0 = 0.3$ einstellst. Der (scharz eingefärbte) Graph von $f$ wird dann in dieser Umgebung angezeigt.

(d) Mit dem Schieberegler $c$ kannst du jetzt den Punkt $P$ (und damit auch Graph $f$) nach oben und unten verschieben. Mache dir so klar, dass die Überlegungen in (a), (b) und (c) unabhängig von der $y$-Koordinate des Punktes $P$ sind.

(e) Verdeutliche die Überlegungen im Wissensspeicher.

Aufgabe 3

(a) Betrachte die Situationen 3 und 4. In diesen Situationen gilt jeweils $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$.

In Situationen 3 hat $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem VZW, in Situationen 4 hat $f''$ dagegen an der Stelle $x$ eine Nullstelle ohne VZW. Das sieht man, wenn man jeweils den Schieberegler $u_2 = 0.3$ einstellt.

(b) Begründe, dass Graph $f$ an der Stelle $x$ in Situation 3 einen Sattelpunkt und in Situation 4 einen Extrempunkt (hier: Hochpunkt) hat. Mache dir anhand dieser Situationen klar, dass man mit der Vorgabe $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$ keine Aussage darüber machen kann, ob an der Stelle $x$ ein Extrempunkt vorliegt.

(c) Verdeutliche die Überlegungen im Wissensspeicher.

Aufgabe 4

Die im Applet anhand spezieller Beispielfunktionen durchgeführten Überlegungen kann man verallgemeinern. Man muss nur voraussetzen, dass die Ausgangsfunktion $f$ zweimal differenzierbar ist (d.h., dass die zweite Ableitung $f''$ existiert.). Die gefundenen Zusammenhänge werden jetzt präzisiert.

(a) Ergänze passende Einträge in der Tabelle.

Eigenschaft von $f'$ und $f''$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
$f'(x) = 0$ und $f''(x) \text{ < } 0$	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ ...
$f'(x) = 0$ und $f''(x) > 0$	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ ...

(b) Formuliere die Zusammenhänge mit Wenn-Dann-Aussagen und ergänze die Einträge im Wissensspeicher.

(c) Fasse alle erarbeiteten Zusammenhänge in diesem Wissensspeicher zusammen.