Zusammenfassung – Monotonie und lokale Extrema
Präzisierung des Monotoniebegriffs
Mit dem Begriff streng monoton steigend erfasst man, dass $f(x)$ immer größer wird, wenn $x$ größer wird. Entsprechend beschreibt streng monoton fallend die Eigenschaft, dass $f(x)$ immer kleiner wird, wenn $x$ größer wird.
Im folgenden Applet sind für eine Beispielfunktion die Monotonieintervalle bereits gekennzeichnet. Die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ kann man auf dem Graph hin und her bewegen.
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Mit einer Definition werden die Monotoniebegriffe präzise festgelegt.
Monotonie bei Funktionen
Eine Funktion ist streng monoton steigend im Intervall $I$ genau dann, wenn für $x_1$ und $x_2$ aus $I$ gilt: Wenn $x_1 \text{ < } x_2$, dann gilt $f(x_1) \text{ < } f(x_2)$.
Eine Funktion ist streng monoton fallend im Intervall $I$ genau dann, wenn für $x_1$ und $x_2$ aus $I$ gilt: Wenn $x_1 \text{ < } x_2$, dann gilt $f(x_1) > f(x_2)$.
Beachte:
Es gibt auch Begriffe für eine schwächere Form von Monotonie. Wir werden sie aber in den weiteren Kapiteln nicht benutzen.
Eine Funktion ist monoton steigend im Intervall $I$ genau dann, wenn für $x_1$ und $x_2$ aus $I$ gilt: Wenn $x_1 \text{ < } x_2$, dann gilt $f(x_1) \le f(x_2)$.
Eine Funktion ist monoton fallend im Intervall $I$ genau dann, wenn für $x_1$ und $x_2$ aus $I$ gilt: Wenn $x_1 \text{ < } x_2$, dann gilt $f(x_1) \ge f(x_2)$.
Begriffe zur Beschreibung lokaler Extrema
Das Steigen und Fallen von Funktionsgraphen führt zu lokal maximalen oder minimalen Funktionswerten. Auch hierfür gibt es passende Fachbegriffe.
Bewege im folgenden Applet die rote Markierung entlang der $x$-Achse. An einigen Stellen werden Begriffe eingeblendet. Erläutere diese Begriffe.
Kläre dabei auch folgende Fragen: Was bezweckt man mit dem Zusatz lokal
bei z.B. lokalen Extrema
? Inwiefern
wird z.B. Extremstelle
als Oberbegriff benutzt?
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Zur genaueren Festlegung soll das folgende Applet verwendet werden. Stelle im Applet die Umgebungsbreite $u_0 = 0.3$ ein. Mit den Funktionswerten innerhalb der Umgebungen kann man jetzt entscheiden, ob die vorgegebene Funktion $f$ der betrachteten Stelle $x$ ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum hat. Bewege hierzu den Schieberegler für $x$ hin und her.
Anleitung für das Applet
- Im Applet ist der Graph einer Funktion $f$ dargestellt. Man kann zunächst aber nur einzelne Punkte des Graphen anzeigen, indem man den Schieberegler für die Stelle $x$ hin und her bewegt.
- Mit dem Schieberegler $u_0$ kann man den Graph in einer Umgebung der gewählten Stelle sichtbar machen. Wenn z.B. für $x = 1$ die Umgebungsbreite auf $u_0 = 0.2$ eingestellt ist, dann sieht man den Graph im Umgebungsintervall $0.8 \text{ < } x \text{ < } 1.2$ zur Stelle $x = 1$.
- Beachte: Jeder Strich auf der $x$-Achse und der $y$-Achse markiert $1$ Einheit.
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Die Experimente im Applet verdeutlichen folgende Begriffsdefinition.
Lokale Extrema
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ ein lokales Maximum genau dann, wenn es ein Umgebungsintervall $I$ zur Stelle $x$ gibt, so dass für alle Stellen $z \in I$ gilt: $f(x) \geq f(z)$. Eine Maximumstelle ist eine Stelle $x$, an der die Funktion ein lokales Maximum hat.
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ ein lokales Minimum genau dann, wenn es ein Umgebungsintervall $I$ zur Stelle $x$ gibt, so dass für alle Stellen $z \in I$ gilt: $f(x) \leq f(z)$. Eine Minimumstelle ist eine Stelle $x$, an der die Funktion ein lokales Minimum hat.
Lokale Maxima und lokale Minima werden auch lokale Extrema genannt. Eine Extremstelle ist eine Stelle $x$, an der die Funktion ein lokales Extremum hat.
Ein Hochpunkt von $f$ ist ein Punkt von Graph $f$, dessen $y$-Koordinate ein lokales Maximum darstellt.
Ein Tiefpunkt von $f$ ist ein Punkt von Graph $f$, dessen $y$-Koordinate ein lokales Minimum darstellt.
Ein Extrempunkt von $f$ ist ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt von $f$.
Monotonie und lokale Extrema
Der Begriffs des lokalen Extremums ist sehr allgemein gefasst. Es werden damit auch Situationen erfasst, die zunächst nicht zum intuitiven Verständnis dieses Begriffs zu passen scheinen.
Betrachte zunächst die im Applet vorgegebene Standardsituation. Der Punkt $(0|1)$ ist hier ein Hochpunkt mit einem Monotoniewechsel von streng monotond steigend hin zu streng monotond fallend.
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Im folgenden Applet liegt eine Art Plateau
vor. Der Graph der Funktion $f$ verläuft im Intervall $-1 \leq x \leq 1$ parallel zur $x$-Achse.
Der Punkt $(0|1)$ ist auch hier ein Hochpunkt von Graph $f$ – allerdings ohne
einen Monotoniewechsel von streng monotond steigend hin zu streng monotond fallend.
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Auch im nächsten Applet liegt eine Art Plateau
vor. Der Graph der Funktion $f$ verläuft im Intervall $-1 \leq x \leq 1$ ebenfalls parallel zur $x$-Achse.
Der Punkt $(0|1)$ erfüllt auch hier die Kriterien eines Hochpunkts. Es gibt eine Umgebung um $x = 0$, in der der Funktionswert $f(0)$ nicht übertroffen wird.
An der Stelle $x = 0$ hat $f$ also ein lokales Extremum – ebenfalls ohne
einen Monotoniewechsel von streng monotond steigend hin zu streng monotond fallend.
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Interessant ist auch die im folgenden Applet vorgegebene Situation. Der Graph oszilliert hier ständig mit immer kleiner werdenden Aufs und Abs. Der Graph verläuft dabei nie oberhalb der eingezeichneten Hilfgeraden. Der Punkt $(0|1)$ ist auch hier ein Hochpunkt von Graph $f$ – auch hier ohne einen Monotoniewechsel von streng monotond steigend hin zu streng monotond fallend.
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Die Beispiele verdeutlichen, dass lokale Extrema nicht notwendigerweise mit einem Monotoniewechsel verbunden sind. In den weiteren Kapiteln werden wir aber fast ausnahmslos Extrempunkte mit einem Monotoniewechsel betrachten.
Bei einem Hochpunkt mit Monotoniewechsel gibt es ein Intervall $z_0 \lt z \lt x$ vor der betrachteten Extremstelle $x$, in der der Graph streng monoton steigt, sowie ein Intervall $x \lt z \lt z_1$ hinter der betrachteten Extremstelle $x$, in der der Graph streng monoton fällt. Das folgende Applet zeigt ein typisches Beispiel.
Zum Herunterladen: extremum1.ggb
Entsprechend gibt es bei einem Tiefpunkt mit Monotoniewechsel ein Intervall $z_0 \lt z \lt x$ vor der betrachteten Extremstelle, in der der Graph streng monoton fällt, sowie ein Intervall $x \lt z \lt z_1$ hinter der betrachteten Extremstelle $x$, in der der Graph streng monoton steigt.
