Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte mit der ersten und zweiten Ableitung
Lokale Ableitungswerte verwenden
Beim Vorzeichenwechselkriterium für lokale Extrema wird die Ableitung in einer Umgebung von einer Nullstelle der Ableitungsfunktion betrachtet. Das folgende Applet verdeutlich diesen Ansatz.
Zum Herunterladen: lokale_extrema_hinreichende_bedingung2.ggb
Um einen Vorzeichenwechsel zu ermitteln, muss man neben der in Frage kommenden Stelle $x$ auch Ableitungswerte in einer Umgebung von $x$ berechnen. Das geht manchmal auch noch einfacher. Es reicht, Information über die erste und zweite Ableitung an der Stelle $x$ zu verwenden. Mit dem folgenden Applet kann man sich die Argumentationen klarmachen.
Anleitung für das Applet
- Ziel ist es, Vorhersagen über den Graph von $f$ (im oberen Koordinatensystem) in der Umgebung des Punktes $P$ zu treffen. Dabei kann man die Information über die 1. und 2. Ableitung an der betreffenden Stelle verwenden. Zum Punkt $P$ im oberen Koordinatensystem wird hierzu ein zugehöriger (blau dargestellter) Punkt $Q$ im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion $f'$ sowie ein zugehöriger (grün dargestellter) Punkt $R$ im Koordinatensystem für die Ableitungsfunktion $f''$ erzeugt. Während $P$ den Funktionswert $f(x)$ an der Stelle $x$ veranschaulicht, verdeutlicht $Q$ die Ableitung $f'(x)$ und $R$ die 2. Ableitung $f''(x)$ an der Stelle $x$.
- Überprüfen kann man Vorhersagen über den Graph von $f$, indem man die Umgebung um den Punkt $P$ mit dem Schieberegler $u_0$ sichtbar macht. Für $u_0 = 0$ wird nur die Stelle $x$ angezeigt, für $u_0 = 4$ erhält man den kompletten Graph im Fenster. Wozu das gut ist, wird in den Aufgaben geklärt. Probiere das einmal aus und stelle dann wieder den Ausgangswert $u_0 = 0$ ein.
- Mit den Schiebereglern $u_1$ und $u_2$ kann man analog den Graph der Funktion $f'$ bzw. $f''$ in der Umgebung der jeweiligen Punkte sichtbar machen. Probiere das einmal aus und stelle dann wieder die Ausgangswerte $u_1 = 0$ und $u_2 = 0$ ein.
- Die Position des Punktes $P$ auf dem (unsichtbaren) Graph $f$ kann man mit dem Schieberegler $x$ ganz oben einstellen. Probiere das einmal aus. Der Punkt $P$ springt dann an neue Positionen – aber nur innerhalb des gesetzten Rahmens für das Koordinatensystem. Beachte, dass man $P$ nur in voreingestellten Abständen bewegen kann. Das dient dazu, dass man Punkte von Interesse möglichst schnell einstellen kann.
- Die Schaltflächen auf der linken Seite dienen dazu, Situationen von besonderem Interesse einzustellen.
- Mit dem Kontrollkästchen [Variationen] kann man einen Schieberegler einblenden, mit dem man Graph $f$ nach oben und unten verschieben kann.
Zum Herunterladen: lokale_extrema_hoehere_ableitungen9.ggb
Betrachte die Situation 1 mit den Vorgaben $f'(x) = 0$ und $f''(x) \lt 0$. Hier gilt:
- Der Punkt $R$ zur Verdeutlichung von $f''(x)$ liegt unterhalb der $x$-Achse.
- Der Punkt $Q$ zur Verdeutlichung von $f'(x)$ liegt auf der $x$-Achse.
- Die Steigung im Punkt $Q$ (dargestellt durch die grün gestrichelte Gerade) entspricht $f''(x)$. Sie ist also negativ.
- Über den Punkt $P$ zur Verdeutlichung von $f(x)$ gibt es keine Vorgabe. Man kann ihn mit dem Schieberegler $c$ nach oben und unten bewegen.
- Die Steigung im Punkt $P$ (dargestellt durch die blau gestrichelte Gerade) entspricht $f'(x)$. Sie hat den Wert $0$.
Da die Steigung von $f'$ im Punkt $Q$ negativ ist, hat $f'$ an der Stelle $x$ einen $+/-$-Vorzeichenwechsel. Mit dem Vorzeichenwechselkriterium kann man dann schließen, dass Graph $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt hat.
Analog kann man in Situation 2 mit den Vorgaben $f'(x) = 0$ und $f''(x) > 0$ argumentieren. Es gilt:
- Der Punkt $R$ zur Verdeutlichung von $f''(x)$ liegt ...
- Der Punkt $Q$ zur Verdeutlichung von $f'(x)$ liegt ...
- Die Steigung im Punkt $Q$ (dargestellt durch die grün gestrichelte Gerade) entspricht $f''(x)$. Sie ist also ...
- Über den Punkt $P$ zur Verdeutlichung von $f(x)$ gibt es keine Vorgabe. Man kann ihn mit dem Schieberegler $c$ ...
- Die Steigung im Punkt $P$ (dargestellt durch die blau gestrichelte Gerade) entspricht $f'(x)$. Sie hat den Wert ...
Da die Steigung von $f'$ im Punkt $Q$ positiv ist, hat $f'$ an der Stelle $x$ einen $-/+$-Vorzeichenwechsel. Mit dem Vorzeichenwechselkriterium kann man dann schließen, dass Graph $f$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt hat.
In den Situationen 3 und 4 gilt jeweils $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$. In Situationen 3 hat $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem VZW, in Situationen 4 hat $f''$ dagegen an der Stelle $x$ eine Nullstelle ohne VZW. Das sieht man, wenn man jeweils den Schieberegler $u_2 = 0.3$ einstellt.
Mit analogen Betrachtungen erhält man, dass Graph $f$ an der Stelle $x$ in Situation 3 einen Sattelpunkt und in Situation 4 einen Extrempunkt (hier: Hochpunkt) hat. Mit der Vorgabe $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$ kann man daher keine Aussage darüber treffen, ob an der Stelle $x$ ein Extrempunkt vorliegt.
Die im Applet anhand spezieller Beispielfunktionen durchgeführten Überlegungen kann man verallgemeinern. Man muss nur voraussetzen, dass die Ausgangsfunktion $f$ zweimal differenzierbar ist (d.h., dass die zweite Ableitung $f''$ existiert.).
Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte (Kriterium mit höheren Ableitungen)
Wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x) \text{ < } 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
Wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x) \text{ > } 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
Voraussetzung
Der Satz gilt unter der Voraussetzung, dass $f$ in einer Umgebung von $x$ zweimal differenzierbar ist.
Beachte:
Wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$, dann kann man mit dieser Information nicht entscheiden, ob an der Stelle $x$ ein Extrempunkt vorliegt.
Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Kriterium mit höheren Ableitungen
Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.
Beispiel
geg.: $f(x) = \frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 0.5$
ges.: kritische Stellen von $f$, an denen Hoch- oder Tiefpunkte liegen können
Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen
Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f'$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.
Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln.
$f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2$
Zur Bestimmung der Nullstellen von $f'$ muss die Bedingung $f'(x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:
$f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1)$
Aus dieser Produktdarstellung von $f'(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:
- $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^2 = 0$ oder $x^2 = 4$
- $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$
Die kritischen Stellen sind demnach $x = 0$ und $x = -2$ und $x = 2$. Nur an diesen Stellen kann ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.
Schritt 2: Die zweite Ableitung berücksichtigen
Für die zweite Ableitung von $f$ gilt:
$f''(x) = x^3 - 2x$
Man kann jetzt so schließen:
| Stelle | $f'(x)$ | $f''(x)$ | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $x = -2$ | $f'(-2) = 0$ | $f''(-2) = -4 \lt 0$ | Hochpunkt |
| $x = 0$ | $f'(0) = 0$ | $f''(0) = 0$ | horizontale Tangente |
| $x = 2$ | $f'(2) = 0$ | $f''(2) = 4 > 0$ | Tiefpunkt |
Beachte, dass man für die kritische Stelle $x = 0$ hier keine Entscheidung mit der zweiten Ableitung darüber treffen kann, ob an dieser Stelle ein Extrempunkt vorliegt. Da $f$ einen Hochpunkt an der Stelle $x = -2$ und einen Tiefpunkt an der Stelle $x = 2$ hat, kann man dennoch erschließen, dass an der Stelle $x = 0$ ein Sattelpunkt vorliegen muss.
Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen
Man weiß jetzt, an welchen Stellen Hoch-, Tief- und Sattelpunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten der Punkte.
Zur Bestimmung der $y$-Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.
$f(-2) = \frac{47}{30} \approx 1.57$: Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten $(-2|1.57)$.
$f(0) = 0.5$: Der Sattelpunkt hat somit die Koordinaten $(0|0.5)$.
$f(2) = -\frac{17}{30} \approx -0.57$: Der Tiefpunkt hat somit die Koordinaten $(2|-0.57)$.
