Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte
Grundidee – Steigungen berücksichtigen
Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion in einem bestimmten Bereich verlaufen. Bewege jeweils den Punkt auf Graph , um Graph zu erzeugen.
| Situation 1 | Situation 2 | Situation 3 | Situation 4 |
|---|
| | | |
| hat an der Stelle einen Hochpunkt. | hat an der Stelle einen Tiefpunkt. | hat an der Stelle einen Sattelpunkt. | hat an der Stelle einen Sattelpunkt. |
| hat an der Stelle eine Nullstelle. | hat an der Stelle eine Nullstelle. | hat an der Stelle eine Nullstelle. | hat an der Stelle eine Nullstelle. |
Man erhält den folgenden – anschaulich plausiblen – Zusammenhang:
Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte:
Wenn an der Stelle einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat an der Stelle eine Nullstelle.
Beachte, dass die Umkehrung Wenn an der Stelle eine Nullstelle hat, dann hat an der Stelle einen Hoch- oder Tiefpunkt.
falsch ist. Die Funktion kann an der Stelle dann auch einen Sattelpunkt haben.
Die Nullstellen von liefern somit nur die kritischen Stellen, an denen Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen können aber nicht müssen.
Anwendung der notwendigen Bedingung
Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.
Beispiel
geg.:
ges.: kritische Stellen von , an denen Hoch- oder Tiefpunkte liegen können
Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion , denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.
Die Ableitungsfunktion erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln.
Zur Bestimmung der Nullstellen von muss die Bedingung erfüllt sein. Es gilt:
Aus dieser Produktdarstellung von kann man jetzt wie folgt schließen:
- genau dann, wenn oder
- genau dann, wenn oder oder
Die kritischen Stellen sind demnach und und . Ob an diesen Stellen tatsächlich Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen, lässt sich ohne weitere Informationen nicht klären.
