Einblick - Funktionsuntersuchungen

Einen Prozess aus der Betriebswirtschaftlehre betrachten

Um einen ersten Einblick in den Themenkomplex Funktionsuntersuchungen zu gewinnen betrachten wir einen Prozess aus der Betriebwirtschaftslehre: Ein Unternehmen bringt ein neues Produkt auf den Markt. Mit dem Produktlebenszyklus beschreibt man modellhaft den Prozess von der Markteinführung eines Produktes bis hin zu seiner Entfernung vom Markt.

Der rote Graph beschreibt den Umsatz eines Unternehmens in Abhängigkeit von der Zeit. Der Umsatz entspricht den gesamten Einnahmen, die das Unternehmen für das verkaufte Produkt erzielt.

Der grüne Graph beschreibt den Gewinn des Unternehmens in Abhängigkeit von der Zeit. Wenn ein Unternehmen ein Produkt vertreibt, dann entstehen dabei Kosten (u.a. für Personal, Material und die Produktion). Um den Gewinn zu bestimmen, werden die Kosten vom Umsatz abgezogen.

Aufgabe 1: Einstieg

In der Grafik erkennt man, dass der gesamte Produktlebenszyklus in verschiedene Phasen eingeteilt ist. Deute die Graphen und beschreibe in eigenen Worten die Charakteristika der verschiedenen Phasen.

Aufgabe 2: Erarbeitung

In der folgenden Tabelle sind Fragen gesammelt, die ein Unternehmen bei konkret vorgegebenen Graphen klären möchte.

(a) Kläre die Fragen in der Tabelle anhand der oben vorgegebenen Graphen. Du kannst keine konkreten Werte bestimmen, sondern sollst beschreiben, wo man die entsprechenden Stellen im Graph findet.

Frage / Problem	Eigenschaft der entsprechenden Funktion
In welchem Bereich erzielt man tatsächlich einen (positiven) Gewinn?
In welchem Bereich steigt der Umsatz, in welchen Bereich nimmt er wieder ab?
Wie hoch ist das Umsatzmaximum?
Wann erreicht man den maximalen Gewinn?
Wann ist die Gewinnsteigerung maximal?

(b) Die Tabelle behandelt Fragen aus dem konkreten Kontext. In der Mathematik werden solche kontextbezogenen Fragen oft in mathematische Formulierungen „übersetzt“. Ordne den Fragen in der Tabelle die passenden mathematischen Eigenschaften aus der folgenden Auflistung zu.

• An welcher Stelle hat der grüne Graph einen Hochpunkt?
• In welchem Intervall ist die Funktion zum roten Graph streng monoton steigend, in welchem streng monoton fallend?
• Welche Nullstellen hat die Funktion zum grünen Graph?
• An welcher Stelle hat der grüne Graph die maximale Steigung?
• Welche $y$-Koordinate hat der Hochpunkt des roten Graphen?

Aufgabe 3: Vertiefung

Eine mathematische Untersuchung von Funktionseigenschaften setzt präzise Begriffe voraus. Wir stellen hier erste Begriffe zusammen, die in den folgenden Unterkapiteln immer wieder eine Rolle spielen.

Bei Funktionsuntersuchungen ist immer wieder von Stellen, Werten und Punkten die Rede. Verdeutliche anhand des folgenden Applets die Unterscheidung zwischen disen Begriffen:

• Stelle $x$ (das ist eine Zahl)
• Funktionswert $f(x)$ (das ist eine Zahl)
• Punkt $P(x|f(x))$ des Funktionsgraphen (das ist ein Zahlenpaar)

Zum Herunterladen: begriffe1.ggb