Anwendung – Extremwertbestimmung mit dem Vorzeichenwechselkriterium
Zur Orientierung
Wie kann man mit Hilfe der Ableitung lokale Extrema bestimmen? Wir nutzen das Vorzeichenwechselkriterium, um die Extrempunkte einer vorgegebenen Funktion zu berechnen.
Das Vorzeichenwechselkriterium zur Extremwertbestimmung verwenden
Betrachte die Beispielfunktion aus dem letzten Abschnitt.
Beispiel
geg.: Ausgangsfunktion $f(x) = \frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 0.5$
ges.: Extrempunkte von Graph $f$
Im Abschnitt zur notwendigen Bedingung wurden die kritischen Stellen für lokale Extrema bestimmt. Mache dich ggf. nochmal mit den durchgeführten Rechnungen vertraut.
Jetzt geht es darum herauszufinden, welche Vorzeichen und Vorzeichenwechsel von $f'$ in den durch die Nullstellen gebildeten Intervallen vorliegen.
Aufgabe 2
(a) In der Tabelle unter der Aufgabe sind bereits etliche Einträge zu finden. Erkläre zunächst die Einträge in der 1. Spalte. Warum wird genau diese Unterteilunghier betrachtet?
(b) Als Testwert im Intervall $-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$ wird der $x$-Wert $x = -4$ betrachtet. Wenn man $f'(-4)$ ausrechnet, erhält man das Ergebnis $48$. Prüfe das nach. Warum kann man jetzt aus diesem Ergebnis erschließen, dass $f$ im gesamten Intervall $-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$ streng monoton steigend ist?
(c) Erkläre, wie man zu dem Ergebnis kommt, dass $f$ an der Stelle $x = -2$ einen Hochpunkt haben muss.
(d) Ergänze die fehlenden Einträge in der Tabelle. Nutze geeignete Testwerte in den Intervallen, um das jeweilige Vorzeichen von $f'$ in diesen Intervallen herauszufinden.
| Stelle / Intervall | $f'(x)$ | Vorzeichenwechsel | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$ | $f'(-4) = 48$ $f'(x) > 0$ |
streng monoton steigend | |
| $x = -2$ | $f'(-2) = 0$ | $+/-$ VZW | Hochpunkt |
| $-2 \text{ < } x \text{ < } 0$ | $f'(-1) = -3/4$ $f'(x) \text{ < } 0$ |
streng monoton fallend | |
| $x = 0$ | |||
| $0 \text{ < } x \text{ < } 2$ | |||
| $x = 2$ | |||
| $2 \text{ < } x \text{ < } \infty$ |
Aufgabe 3
(a) Du weißt jetzt, an welchen Stellen Hoch-, Tief- und Sattelpunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten der Punkte. Bestimme die $y$-Koordinaten des Hoch-, Tief- und Sattelpunktes. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.
(b) Du hast jetzt sehr viel Information über Eigenschaften der Funktion $f$ gesammelt. Nutze die gewonnene Information über $f$, um Graph $f$ auf Papier zu skizzieren. Kontrolliere deine Skizze, indem du passende Daten im Applet eingibst. Beachte, dass du auch für xMin und xMax geeignete Zahlen wählst.
Zum Herunterladen: plotter2.ggb
Vertiefung – die Umkehrbarkeit des Vorzeichenwechselkriteriums untersuchen
Die Zusammenhänge zwischen Vorzeichenwechsel von $f'$ und lokalen Extrema von $f$ haben wir anschaulich und ausgehend von einem Beispiel erschlossen. Zur Begründung haben wir das Argument benutzt, dass das Steigen und Fallen eines Funktionsgraphen eng mit dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion verknüpft ist.
Zur Präzisierung des Zusammenhangs muss man erst einmal genau festlegen, was eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel ist.
Im folgenden Applet kann man die betrachtete Stelle $x$ mit dem roten Punkt auf der $x$-Achse hin und her bewegen. Mit dem Schieberegler $u_0$ kann man eine Umgebung um die betrachtete Stelle $x$ einstellen. Die Funktion $f$ wird dann nur in der Umgebung von $x$ dargestellt.
Verdeutliche anhand des Applets die folgende Präzisierung von Nullstellen mit Vorzeichenwechsel.
Zum Herunterladen: begriff_vzw.ggb
Nullstelle mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von plus nach minus (kurz: $+/-$-VZW) genau dann, wenn $f(x) = 0$ gilt und wenn in einer Umgebung $x - u_0 \lt z \lt x + u_0$ von $x$ gilt: Für $x - u_0 \lt z \lt x$ gilt $f(z) > 0$ und für $x \lt z \lt x + u_0$ gilt $f(z) \lt 0$.
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von minus nach plus (kurz: $-/+$-VZW) genau dann, wenn $f(x) = 0$ gilt und wenn in einer Umgebung $x - u_0 \lt z \lt x + u_0$ von $x$ gilt: Für $x - u_0 \lt z \lt x$ gilt $f(z) \lt 0$ und für $x \lt z \lt x + u_0$ gilt $f(z) > 0$.
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/+$-Verhalten genau dann, wenn $f(x) = 0$ gilt und wenn in einer Umgebung $x - u_0 \lt z \lt x + u_0$ von $x$ gilt: Für $x - u_0 \lt z \lt x$ gilt $f(z) > 0$ und für $x \lt z \lt x + u_0$ gilt ebenfalls $f(z) > 0$.
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/-$-Verhalten genau dann, wenn $f(x) = 0$ gilt und wenn in einer Umgebung $x - u_0 \lt z \lt x + u_0$ von $x$ gilt: Für $x - u_0 \lt z \lt x$ gilt $f(z) \lt 0$ und für $x \lt z \lt x + u_0$ gilt ebenfalls $f(z) \lt 0$.
Zur Begründung des Vorzeichenwechsels kann man jetzt den Monotoniesatz benutzen. Verdeutliche das exemplarisch anhand der folgenden Übersicht.
| Stelle / Intervall | Eigenschaft von $f'$ | Vorzeichenwechsel | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| Umgebung $x - u_0 \lt z \lt x$ | $f'(x) > 0$ | streng monoton steigend | |
| $x$ | $f'(x) = 0$ | $+/-$ VZW | Hochpunkt (mit einem Monotoniewechsel) |
| Umgebung $x \lt z \lt x + u_0$ | $f'(x) \lt 0$ | streng monoton fallend |
Das Vorzeichenwechselkriterium ist nicht umkehrbar. Wenn $f$ an der Stelle $x$ ein lokales Extremum hat, dann kann man daraus im Allgemeinen nicht schließen, dass $f$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat. Die folgende Abbildung verdeutlicht das an einem Gegenbeispiel.
Zum Herunterladen: gegenbeispiel_umkehrung_vzw.ggb
Umkehrbarkeit erhält man, wenn man nur Extrempunkte mit einem Monotoniewechsel betrachtet.
Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte mit einem Monotoniewechsel (Vorzeichenwechselkriterium)
$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel genau dann, wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt mit einem Monotoniewechsel hat (von streng monoton steigend zu streng monoton fallend).
$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel genau dann, wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt mit einem Monotoniewechsel hat (von streng monoton fallend zu streng monoton steigend).
Wir werden hier im Schulbuch nur solche Extrempunkte mit einem Monotoniewechsel betrachten.
