Übungen – Wachstumsverhalten
Aufgabe 1
Gegeben ist der Graph einer Funktion $f$, die einen komplizierteren Wachstumsprozess beschreibt.
(a) Verschiebe im Applet unter der Aufgabe die Punkte auf Graph $f$ so, dass sie eine Unterteilung in verschiedene Wachstumsphasen darstellen. Achte darauf, dass die Reihenfolge $P_1 ... P_7$ von links nach rechts erhalten bleibt.
(b) Charakterisiere die verschiedenen Wachstumsphasen mit den eigeführen Fachbegriffen.
- gebremstes Wachstum im Intervall $... \lt x \lt 1$
- ...
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Aufgabe 2
(a) Verschiebe die Punkte auf dem Ausgangsgraph (im oberen Fenster des folgenden Applets) so, dass sie die Wendepunkte der Funktionen markieren. Zur Feinjustierung kannst du Graph $f'$ (im unteren Fenster) einblenden.
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(b) Ergänze die Einträge in der Tabelle.
| Stelle / Intervall | Eigenschaften von $f'$ | Eigenschaften von $f$ |
|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } 1$ | $f'$ ist streng monoton steigend | Graph $f$ ist linksgekrümmt |
| $x = 1$ | $f$ hat einen Hochpunkt mit einem Steigungswechsel | $f$ hat einen Wendepunkt |
| $1 \text{ < } x \text{ < } 4$ | $f'$ ist ... | Graph $f$ ist ... |
| $x = 4$ | ||
| ... | ||
| $x = \dots$ | ||
| ... |
Aufgabe 3
Hier ist der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ zu einem Wachstumsprozess gegeben. Welcher der vorgegebenen Graphen kommt als Ausgangsfunktion $f$ in Frage? Begründe mit Hilfe von Wachstumsarten.
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Aufgabe 4
Im den Applets unter der Aufgabe ist jeweils der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ zu einem Wachstumsprozess gegeben. Welche Schlüsse über den Wachstumsprozess kann man hier ziehen? Bearbeite hierzu die folgenden Aufgaben.
(a) An welchen Stellen hat Graph $f$ einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt?
(b) In welchen Intervallen liegt beschleunigtes / gebremstes Wachstum bzw. beschleunigter / gebremster Zerfall vor?
(c) Klicke ganz links oben auf den Zeiger und wähle den Modus „Freihandskizze“ aus. Nutze den Stift, um einen möglichen Verlauf von Graph $f$ im oberen Fenster zu skizzieren. Wechsle abschließend wieder zum Bewegungsmodus und blende zur Kontrolle Graph $f$ ein.
Wachstumsprozess 1
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Wachstumsprozess 2
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Wachstumsprozess 3
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