Vertiefung – Hinreichende Bedingung für strenge Monotonie
Zur Orientierung
Wie kann man mit Hilfe der Ableitung lokale Extrema bestimmen? Bei der Entwicklung des Vorzeichenwechselkriteriums haben wir einen plausiblen Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion und dem Monotonieverhalten der Ausgangsfunktion benutzt. Dieser Zusammenhang wird hier genauer untersucht.
Eine Bedingung für strenge Monotonie untersuchen
Das folgende Applet verdeutlicht anhand eines Beispiels, wie man aus Eigenschaften von $f'$ auf das Monotonieverhalten von $f$ schließen kann. Mit dem orangen Punkt ganz oben wählt man das Intervall aus. Wenn man im Applet den Punkt $Q$ auf Graph $f'$ im ausgewählten Intervall bewegt, entsteht im oberen Fenster der Graph der Ausgangsfunktion $f$. Mit dem Schieberegler $c$ kann man vorab die Ausgangsposition des Punktes $P$ einstellen. Probiere das aus und bearbeite anschließend die Aufgaben unterhalb des Applets.
Zum Herunterladen: monotonie_hinreichende_bedingung.ggb
Aufgabe 1
Verdeutliche anhand des Applets die Zusammenhänge in der folgenden Übersicht.
| Eigenschaft von $f'$ (hinreichende Bedingung) |
hieraus folgt | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|
| $f'(x) > 0$ für alle $x\in I$ | $\Rightarrow$ | $f$ ist streng monoton steigend im Intervall $I$ |
| $f'(x) \lt 0$ für alle $x\in I$ | $\Rightarrow$ | $f$ ist streng monoton fallend im Intervall $I$ |
Dieser Zusammehang lässt sich auch so formulieren:
Hinreichende Bedingung für strenge Monotonie (Monotoniesatz)
Wenn $f'(x) > 0$ für alle $x\in I$, dann ist $f$ streng monoton steigend im Intervall $I$.
Wenn $f'(x) \text{ < } 0$ für alle $x\in I$, dann ist $f$ streng monoton fallend im Intervall $I$.
Voraussetzung
Der Satz gilt unter der Voraussetzung, dass $f$ im Intervall $I$ differenzierbar ist.
Den Monotoniesatz begründen
Wir verzichten hier auf einen formalen Beweis des Monotoniesatzes. Man kann sich den Zusammenhang anhand des folgenden Applets klarmachen. Beachte: Den Punkt im unteren Fenster kann man nach oben und unten bewegen. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: monotonie_hinreichend_begruendung.ggb
Aufgabe 2
(a) Verdeutliche mit Hilfe des Applets: Wenn die Ableitung $f'(x)$ existiert, dann gilt für kleine $h$-Werte: $f(x+h) \approx t(x) = f(x) + h \cdot f'(x)$.
(b) Begründe: Wenn $f'(x) > 0$, dann gilt für kleine $h$-Werte mit $h > 0$: $f(x+h) > f(x)$.
(c) Begründe: Wenn $f'(x) \lt 0$, dann gilt für kleine $h$-Werte mit $h > 0$: $f(x+h) \lt f(x)$.
Die Umkehrung des Monotoniesatzes untersuchen
Aufgabe 3
Beachte, dass man nicht umgekehrt schließen kann:
Wenn $f$ im Intervall $I$ streng monoton steigend (bzw. fallend) ist, dann gilt $f'(x) > 0$ (bzw. $f'(x) \lt 0$) für alle $x\in I$.
Begründe das mit dem Gegenbeispiel $f(x) = x^3$.
Aufgabe 4
Es gilt aber folgender Zusammenhang. Überprüfe das am Beispiel $f(x) = x^3$.
Notwendige Bedingung für strenge Monotonie
Wenn $f$ im Intervall $I$ streng monoton steigend ist, dann gilt $f'(x) \geq 0$ für alle $x\in I$.
Wenn $f$ im Intervall $I$ streng monoton fallend ist, dann gilt $f'(x) \leq 0$ für alle $x\in I$.
Voraussetzung
Der Satz gilt unter der Voraussetzung, dass $f$ im Intervall $I$ differenzierbar ist.
