Kriterium mit höheren Ableitungen
Aufgabe 1
Gegeben ist eine Tabelle mit Information über $f$, $f'$ und $f''$. Gesucht sind die Hoch- und Tiefpunkte von $f$.
| Stelle | $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | Hoch-/Tiefpunkte von $f$ |
|---|---|---|---|---|
| $x = 0$ | $0$ | $0$ | $12$ | |
| $x = 2$ | $5.33$ | $0$ | $-4$ | |
| $x = 3$ | $4.5$ | $0$ | $6$ |
Aufgabe 2
Gegeben ist eine Tabelle mit Information über $f$, $f'$ und $f''$. Gesucht sind die Hoch- und Tiefpunkte von $f$. Welche Schwierigkeit tritt hier bei der Klärung auf?
| Stelle | $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | Hoch-/Tiefpunkte von $f$ |
|---|---|---|---|---|
| $x = -3$ | $4.32$ | $0$ | $0$ | |
| $x = 0$ | $0$ | $0$ | $0$ | |
| $x = 2$ | $0.97$ | $0$ | $-4$ | |
| $x = 3$ | $-0.68$ | $0$ | $19.44$ |
Gib zur Kontrolle den Funktionsterm $f(x) = \frac{1}{400}x^8 + \frac{1}{350}x^7 - \frac{1}{20}x^6 - \frac{9}{250}x^5 + \frac{27}{100}x^4 $ mit einem Bereich von $-3.5$ bis $3.5$ in den Plotter ein. Gleiche deine Ergebnisse mit dem Graphen ab. Diskutiere anhand dieses Beispiels die Nachteile des Kriteriums mit höheren Ableitungen.
Zum Herunterladen: plotter2.ggb
Aufgabe 3
Die Tabelle zeigt Information (gerundete Werte) über die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{150}x^5 - \frac{8}{45} x^3$.
(a) Bestimme mit dieser Information folgende besondere Punkte von Graph $f$:
- Schnittpunkte mit der $x$-Achse und der $y$-Achse
- Hoch- und Tiefpunkte
- Sattelpunkte
Beachte, dass die Tabelle auch Information enthält, die für die Bestimmung der besonderen Punkte nicht benötigt wird. Gib jeweils genau an, wie du (mit einem passenden Kriterium) argumentierst.
| $x$ | $-5.16$ | $-4$ | $-2.83$ | $0$ | $2.83$ | $4$ | $5.16$ |
| $f(x)$ | $0$ | $4.55$ | $2.82$ | $0$ | $-2.82$ | $-4.55$ | $0$ |
| $f'(x)$ | $9.48$ | $0$ | $-2.13$ | $0$ | $-2.13$ | $0$ | $9.48$ |
| $f''(x)$ | $-12.85$ | $-4.27$ | $0$ | $0$ | $0$ | $4.27$ | $12.85$ |
(b) Skizziere mit den Ergebnissen aus (a) den Graph von $f$.
Kontrolliere mit dem Funktionenplotter. Gib hierzu den Funktionsterm $f(x) = \frac{1}{150}x^5 - \frac{8}{45} x^3$ mit einem passenden Bereich (siehe Tabelle oben) in den Plotter ein.
Zum Herunterladen: plotter2.ggb
Aufgabe 4
Bestimme jeweils die Extrempunkte von $f$. Zur Kontrolle kannst du den Funktionenplotter oben benutzen.
(a) $f(x) = \frac{1}{24}x^3 + \frac{1}{8}x^2 - x$
(b) $f(x) = \frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{2}x^3 + 2$
(c) $f(x) = \frac{1}{80}x^4 + \frac{1}{20}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + 4$
