Erarbeitung – Kriterien für Wendepunkte

Eine notwendige Bedingung für Wendepunkte entwickeln

Im folgenden Applet werden Zusammenhänge zwischen der Ausgangsfunktion und ihren Ableitungsfunktionen verdeutlicht. Der Fokus liegt dabei auf den Wendepunkten der Ausgangsfunktion. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.

Anleitung für das Applet

• Im oberen Fenster ist der Graph einer Ausgangsfunktion $f$ dargestellt. Die 3 Wendepunkte von $f$ sind hier hervorgehoben.
• Im mittleren Fenster ist nur ein kleiner Ausschnitt der Ableitungsfunktion $f'$ zu sehen.
• Im unteren Fenster sieht man nur einen Punkt des Graphen der 2. Ableitungsfunktion $f''$.
• Mit dem Schieberegler für $x$ kann man die betrachtete Stelle einstellen. Die Punkte $P$, $Q$ und $R$ werden dann auf den zugehörigen Graphen an die betrachtete Stelle platziert.

Zum Herunterladen: wendestellen_notwendige_bedingung.ggb

Aufgabe 1

(a) Verdeutliche mit Hilfe des Applets die Zusammenhänge in der Übersicht.

Eigenschaft von $f$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
	$\Downarrow$
Eigenschaft von $f'$	$f'$ hat an der Stelle $x$ einen Extrempunkt
	$\Downarrow$
Eigenschaft von $f''$	$f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle

(b) Ergänze die folgende notwendige Bedingung für Wendepunkte.

(c)

Die Umkehrung Wenn $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt. ist falsch. Zeige das mit der Funktion $f(x) = x^4$ als Gegenbeispiel.

(d)

Stellen mit $f''(x) = 0$ bezeichnet man als kritische Stellen für Wendepunkte. Erläutere die Rolle dieser kritischen Stellen bei der Bestimmung von Wendepunkten.

Eine erste hinreichende Bedingung für Wendepunkte entwickeln

Bei der Entwicklung einer hinreichenden Bedingung für Wendepunkte gehen wir hier von Eigenaften der zweiten Ableitung aus. Betrachte die im folgenden Applet vorgegebene Situation und bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.

Anleitung für das Applet

• Im oberen Fenster ist der Graph einer Ausgangsfunktion $f$ dargestellt. Die 3 Wendepunkte von $f$ sind hier hervorgehoben.
• Im mittleren Fenster ist nur ein kleiner Ausschnitt der Ableitungsfunktion $f'$ zu sehen.
• Im unteren Fenster sieht man nur einen Punkt des Graphen der 2. Ableitungsfunktion $f''$.
• Mit dem Schieberegler für $x$ kann man die betrachtete Stelle einstellen. Die Punkte $P$, $Q$ und $R$ werden dann auf den zugehörigen Graphen an die betrachtete Stelle platziert.

Zum Herunterladen: wendestellen_hinreichende_bedingung.ggb

Aufgabe 2

(a) Verdeutliche und begründe anhand des Applets die in der Übersicht dargestellten Folgerungen. Zur Verdeutlichung kannst du mit den Umgebungsschiebereglern $u_1 = 0.5$ und $u_0 = 0.5$ die Eigenaften der betreffenden Funktionen aufdecken.

Eigenschaft von $f$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
	$\Uparrow$
Eigenschaft von $f'$	$f'$ hat an der Stelle $x$ einen Extrempunkt mit einem Monotoniewechsel
	$\Uparrow$
Eigenschaft von $f''$	$f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel

(b) $f$ hat an der Stelle $x = 0$ einen Sattelpunkt. An den Stellen $x = -2$ und $x = 2$ liegen dagegen Wendepunkte vor, die keine Sattelpunkte sind. Erkläre, welche Zusatzbedingung für das Vorliegen eines Sattelpunkts erfüllt sein müssen.

(c) Formuliere eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Sattelpunkte als Wenn-Dann-Aussage. Ergänze auch das Arbeitsblatt, in dem der Zusammenhang exemplarisch verdeutlicht wird.

Eine weitere hinreichende Bedingung für Wendepunkte entwickeln

Wendepunkte kann man auch mit höheren Ableitungen bestimmen. Das folgende Applet verdeutlicht die Zusammenhänge anhand mehrerer typischer Situationen. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.

Anleitung für das Applet

• Ziel ist es, Vorhersagen über den Graph von $f$ (im oberen Koordinatensystem) in der Umgebung des Punktes $P$ zu treffen. Dabei kann man die Information über die 1., 2. und 3. Ableitung an der betreffenden Stelle verwenden. Zum Punkt $P$ im oberen Koordinatensystem werden hierzu die Punkte $Q$, $R$ und $S$ in den Koordinatensystemen für die Ableitungsfunktionen erzeugt.
• Überprüfen kann man Vorhersagen über den Graph von $f$, indem man die Umgebung um den Punkt $P$ mit dem Schieberegler $u_0$ sichtbar macht. Für $u_0 = 0$ wird nur die Stelle $x$ angezeigt, für $u_0 = 4$ erhält man den kompletten Graph im Fenster. Wozu das gut ist, wird in den Aufgaben geklärt. Probiere das einmal aus und stelle dann wieder den Ausgangswert $u_0 = 0$ ein.
• Mit den Schiebereglern $u_1$, $u_2$ und $u_3$ kann man analog den Graph der Funktion $f'$ bzw. $f''$ bzw. $f'''$ in der Umgebung der jeweiligen Punkte sichtbar machen. Probiere das einmal aus und stelle dann wieder die Ausgangswerte ein.
• Die Position des Punktes $P$ auf dem (unsichtbaren) Graph $f$ kann man mit dem Schieberegler $x$ ganz oben einstellen. Probiere das einmal aus. Der Punkt $P$ springt dann an neue Positionen – aber nur innerhalb des gesetzten Rahmens für das Koordinatensystem. Beachte, dass man $P$ nur in voreingestellten Abständen bewegen kann. Das dient dazu, dass man Punkte von Interesse möglichst schnell einstellen kann.
• Die Schaltflächen auf der linken Seite dienen dazu, Situationen von besonderem Interesse einzustellen.
• Mit dem Kontrollkästchen [Variationen] kann man Schieberegler einblenden, mit denen man Graph $f$ und Graph $f'$ nach oben und unten verschieben kann.

Zum Herunterladen: wendestellen_hinreichende_bedingung_hoehere_ableitungen.ggb

Aufgabe 3

(a) Betrachte Situation 1 und Situation 2 mit den Vorgaben $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$. Verdeutliche im Applet die Argumentationen in der folgenden Übersicht. Decke zur Kontrolle Umgebungen der Punkte $R$, $Q$ und $P$ auf. Verschiede auch die Graphen von $f$ und $f'$, um zu belegen, dass die Argumentationen unabhängig von den Vorgaben für $f(x)$ und $f'(x)$ sind.

Eigenschaft von $f$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
	$\Uparrow$
Eigenschaft von $f'$	$f'$ hat an der Stelle $x$ einen Extrempunkt mit einem Monotoniewechsel
	$\Uparrow$
Eigenschaft von $f''$	$f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel
	$\Uparrow$
Eigenschaft von $f'''$	$f'''(x) \neq 0$

(b) Betrachte Situation 3 und Situation 4 mit den Vorgaben $f''(x) = 0$ und $f'''(x) = 0$. Zeige anhand dieser Situationen, dass man mit den Vorgaben $f''(x) = 0$ und $f'''(x) = 0$ keine Entscheidung darüber treffen kann, ob an der Stelle $x$ ein Wendepunkt vorliegt.

(c) Formuliere die gefundenen Zusammenhänge mit Wenn-Dann-Aussagen.

Das Wichtigste notieren

Aufgabe 4

Ergänze die Einträge im Wissensspeicher.