Erarbeitung

Das Problem experimentell lösen

Im Applet unten kann man verschiedene Zaungrößen einstellen. Hierzu muss man den roten Punkt auf der $x$-Achse hin und her bewegen.

Aufgabe 1

(a) Im Applet ist der Wert $x = 2$ voreingestellt. Begründe, dass man für diesen $x$-Wert den reduzierten Umfang $u(x) = 14$ erhält.

(b) Bestimme experimentell den $x$-Wert mit dem minimalen reduzierten Umfang.

Zum Herunterladen: zaun1.ggb

Das Problem analytisch lösen

Aktiviere im unteren Applet das Kontrollkästchen $u(x)$. Es erscheint ein zweites Fenster, in dem der Graph der Funktion $u$ zu sehen ist.

Aufgabe 1

(a) Begründe, dass $u(x) = x + 2 \cdot \dfrac{12}{x}$ (mit $x > 0$) gilt.

(b) Beschreibe eine Strategie, mit der man den minimalen reduzierten Umfang mit Hilfe der Ableitungsfunktion $u'$ bestimmen kann.

(c) Führe die Berechnungen möglichst selbstständig durch. Hilfestellungen findest du bei Bedarf unterhalb des Applets.

Zum Herunterladen: zaun2.ggb

Hilfe – Ableitung von $u$

Die Funktion $u$ kann man auch so schreiben:

$u(x) = x + 2 \cdot \dfrac{12}{x} = x + 24 \cdot x^{-1}$

Hilfe – Bestimmung von $x$

Zur Bestimmung von $x$ muss man die Gleichung $u'(x) = 0$ lösen. Man erhält die Gleichung:

$1 - \dfrac{24}{x^2} = 0$

Kontrolle

Den minimalen reduzierten Umfang erhält man für $x = \sqrt{24} \approx 4.9$.