Anwendung

Mögliche Extremstellen bestimmen

Wir verwenden die notwendige Bedingung für lokale Extrema, um die kritische Stellen für lokale Extrema zu bestimmen. Nur an diesen Stellen kann Graph $f$ Extrempunkte haben. Betrachte das folgende Beispiel.

Aufgabe 1

Bestimme für die vorgegebene Funktion $f$ die kritischen Stellen für lokale Extrema.

Kontrolle

Zunächst bestimmt man die Ableitung $f'$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

$f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2$

Dann bestimmt man die Nullstellen von $f'(x)$.

• Durch Ausklammern erhält man $f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1)$.
• Es gilt dann: $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^2 = 0$ oder $x^2 = 4$
• Also: $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$

Die kritischen Stellen für die lokalen Extrema von $f$ sind also $x = -2$, $x = 0$ und $x = 2$.

Aufgabe 2

Gehe analog vor und bestimme die kritischen Stellen der folgenden Funktionen:

• $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$
• $f(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3$