Vertiefung – Monotoniewechsel
Zur Orientierung
Der Begriffs des lokalen Extremums ist sehr allgemein gefasst. Es werden damit auch Situationen erfasst, die zunächst nicht zum intuitiven Verständnis dieses Begriffs zu passen scheinen.
Lokale Extrema untersuchen
Mit dem Begriff lokales Extremum erfasst man eine Situation, in der ein lokal maximaler oder lokal minimaler Funktionswert vorliegt.
Aufgabe 1
Betrachte die im Applet vorgegebene Situation. Begründe: Der Punkt $(0|1)$ ist ein Hochpunkt mit einem Monotoniewechsel von streng monotond steigend hin zu streng monotond fallend.
Zum Herunterladen: extremum1.ggb
Aufgabe 2
(a)
Betrachte die im Applet vorgegebene Situation.
Hier liegt eine Art Plateau
vor. Der Graph der Funktion $f$ verläuft im Intervall $-1 \leq x \leq 1$ parallel zur $x$-Achse.
Begründe: Der Punkt $(0|1)$ ist auch hier ein Hochpunkt von Graph $f$ – allerdings ohne
einen Monotoniewechsel von streng monotond steigend hin zu streng monotond fallend.
Zum Herunterladen: extremum2a.ggb
(b)
Betrachte die im Applet vorgegebene Situation.
Auch hier liegt eine Art Plateau
vor. Der Graph der Funktion $f$ verläuft im Intervall $-1 \leq x \leq 1$ ebenfalls parallel zur $x$-Achse.
Begründe: Der Punkt $(0|1)$ ist auch hier ein Hochpunkt von Graph $f$ – ebenfalls ohne
einen Monotoniewechsel von streng monotond steigend hin zu streng monotond fallend.
Zum Herunterladen: extremum2b.ggb
Aufgabe 3
Interessant ist auch die im folgenden Applet vorgegebene Situation. Der Graph oszilliert hier ständig mit immer kleiner werdenden Aufs und Abs. Der Graph verläuft dabei nie oberhalb der eingezeichneten Hilfgeraden. Begründe: Der Punkt $(0|1)$ ist ein Hochpunkt von Graph $f$ – auch hier ohne einen Monotoniewechsel von streng monotond steigend hin zu streng monotond fallend.
Zum Herunterladen: extremum3.ggb
Ausblick
Wir werden in den weiteren Kapiteln fast ausnahmslos Extrempunkte mit einem Monotoniewechsel betrachten.
Bei einem Hochpunkt mit Monotoniewechsel gibt es ein Intervall $z_0 \lt z \lt x$ vor der betrachteten Extremstelle $x$, in der der Graph streng monoton steigt, sowie ein Intervall $x \lt z \lt z_1$ hinter der betrachteten Extremstelle $x$, in der der Graph streng monoton fällt. Das folgende Applet zeigt ein typisches Beispiel.
Zum Herunterladen: extremum1.ggb
Entsprechend gibt es bei einem Tiefpunkt mit Monotoniewechsel ein Intervall $z_0 \lt z \lt x$ vor der betrachteten Extremstelle, in der der Graph streng monoton fällt, sowie ein Intervall $x \lt z \lt z_1$ hinter der betrachteten Extremstelle $x$, in der der Graph streng monoton steigt.
