Einstieg – Das Problem
Zur Orientierung
Wie kann man mit Hilfe der Ableitung lokale Extrema bestimmen? Die notwendige Bedingung für lokale Extrema liefert nur eine Teilantwort: Mit ihr kann man nur die kritischen (möglichen) Stellen für lokale Extrema ermitteln. Man benötigt Zusatzbedingungen, mit denen man die tatsächlichen vorhandenen Extremstellen ermitteln kann.
Das Problem verdeutlichen
Das Applet verdeutlicht: Wenn an der Stelle $x$ ein Extrempunkt vorliegt, dann ist die Bedingung $f'(x) = 0$ erfüllt. Mit der Information $f'(x) = 0$ kann man allerdings noch nicht erschließen kann, dass an der Stelle $x$ ein Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) auf Graph $f$ vorliegt.
Zum Herunterladen: lokale_extrema_notwendige_bedingung2.ggb
Um einen Extrempunkt zu garantieren benötigt man neben der Bedingung der Information $f'(x) = 0$ also weitere Zusatzinformation. Beim Vorzeichenwechselkriterium für lokale Extrema wird als Zusatzinformation die Ableitung in einer Umgebung von einer Nullstelle der Ableitungsfunktion betrachtet. Wir werden hier einen anderen Weg bestreiten, bei dem nur Information über die betrachtete Stelle $x$ zur Verfügung gestellt wird.
Aufgabe 1
Welche Zusatzinformation könnte helfen, um tatsächlich vorliegende Extrempunkte vorherzusagen? Stelle hierzu Vermutungen auf.
