Anwendung – Extremwertbestimmung mit höheren Ableitungen

Das Kriterium mit höheren Ableitungen zur Extremwertbestimmung verwenden

Betrachte noch einmal die Beispielfunktion aus den letzten Abschnitten.

Im Abschnitt zur notwendigen Bedingung wurden die kritischen Stellen für lokale Extrema bestimmt. Mache dich ggf. nochmal mit den durchgeführten Rechnungen vertraut.

Bestimung der kritischen Stellen

Zunächst bestimmt man die Ableitung $f'$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

$f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2$

Dann bestimmt man die Nullstellen von $f'(x)$.

• Durch Ausklammern erhält man $f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1)$.
• Es gilt dann: $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^2 = 0$ oder $x^2 = 4$
• Also: $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$

Die kritischen Stellen für die lokalen Extrema von $f$ sind also $x = -2$, $x = 0$ und $x = 2$.

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob an den kritischen Stellen Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen.

Aufgabe 1

(a) Zeige, dass man für $f''$ folgende Darstellung erhält.

$f''(x) = x^3 - 2x$

(b) Erkläre die Einträge in der ersten Zeile der folgenden Übersicht.

(c) Ergänze die Einträge in der letzten Zeile der Übersicht.

(d) Welche Schwierigkeit tritt in der mittleren Zeile auf? Warum kann man hier zunächst nur die Eigenschaft horizontale Tangente eintragen, aber keine Entscheidung darüber treffen, ob Graph $f$ an der betrachteten Stelle einen Extrempunkt hat?

kritische Stelle	$f'(x)$	$f''(x)$	Eigenschaft von $f$
$x = -2$	$f'(-2) = 0$	$f''(-2) = -4 \lt 0$	Hochpunkt
$x = 0$
$x = 2$

Aufgabe 2

Über die Stelle $x = 0$ weiß man nur, dass an dieser Stelle eine horizontale Tangente vorliegt. Warum ist es plausibel, dass Graph $f$ an dieser Stelle einen Sattelpunkt hat. Benutze zur Begründung die bereits ermittelten Extrempunkte aus Aufgabe 1.

Aufgabe 3

(a) Du weißt jetzt, an welchen Stellen Hoch-, Tief- und Sattelpunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten der Punkte. Bestimme die $y$-Koordinaten des Hoch-, Tief- und Sattelpunktes. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.

(b) Du hast jetzt sehr viel Information über Eigenschaften der Funktion $f$ gesammelt. Nutze die gewonnene Information über $f$, um Graph $f$ auf Papier zu skizzieren. Kontrolliere deine Skizze, indem du passende Daten im Applet eingibst. Beachte, dass du auch für xMin und xMax geeignete Zahlen wählst.

Zum Herunterladen: plotter2.ggb