Zusammenfassung – Kriterien für Wendepunkte und Krümmung
Wendepunkte einer Funktion
Die Krümmung eines Funktionsgraphen ist direkt mit dem Steigen und Fallen der zugehörigen Ableitungsfunktion verknüpft.
Zum Herunterladen: kruemmung.ggb
Wendepunkte sind die Punkte eines Funktionsgraphen, in denen sich das Krümmungsverhalten von linksgekrümmt in rechtsgekrümmt oder umgekehrt verändert. Es besteht demnach folgender Zusammenhang.
Satz über Wendepunkte
Ein Wendepunkt von Graph $f$ einem Hoch- oder Tiefpunkt von Graph $f'$ mit einem Monotoniewechsel. Im Wendepunkt von Graph $f$ liegt somit eine lokal maximale oder lokal minimale Steigung vor.
Diese Zusammenhang ermöglicht es, Kriterien für Extrempunkte auf entsprechende Kriterien für Wendepunkte zu übertragen.
Notwendige Bedingung für Wendepunkte
Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$ in einem Bereich um einen Wendepunkt verlaufen. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um Graph $f'$ und Graph $f''$ zu erzeugen.
| Situation 1 | Situation 2 | Situation 3 | Situation 4 |
|---|---|---|---|
Mit der notwendigen Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte erhält man jetzt den folgenden Zusammenhang:
| Eigenschaft von $f$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f'$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f''$ |
|---|---|---|---|---|
|
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt. |
$\Rightarrow$ |
$f'$ hat an der Stelle $x$ einen Extrempunkt. |
$\Rightarrow$ |
$f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. |
Wir formulieren den Zusammenhang als Satz.
Notwendige Bedingung für Wendepunkte
Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt hat, dann hat $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle.
Eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte mit Vorzeichenwechsel
Das Applet zeigt eine Situation, in der im oberen Fenster die Ausgangsfunktion $f$ dargestellt ist. Im unteren Fenster ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f'$ (gestrichelt) sowie der Ableitungsfunktion $f''$ (durchgezogen) dargestellt.
Zum Herunterladen: wendepunktevorzeichenwechselkriterium.ggb
Mit dem Monotoniesatz erhält man diese Folgerungsketten:
| Eigenschaft von $f''$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f'$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|---|
| $f''$ ist positiv im Intervall $I$ | $\Rightarrow$ |
$f'$ ist streng monoton steigend im Intervall $I$ |
$\Rightarrow$ |
Graph $f$ ist linksgekrümmt im Intervall $I$ |
| $f''$ ist negativ im Intervall $I$ | $\Rightarrow$ |
$f'$ ist streng monoton fallend im Intervall $I$ |
$\Rightarrow$ |
Graph $f$ ist rechtsgekrümmt im Intervall $I$ |
Hieraus erhält man jetzt den folgenden Zusammenhang:
| Eigenschaft von $f''$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f'$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|---|
|
$f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel |
$\Rightarrow$ |
$f'$ hat an der Stelle $x$ einen Extrempunkt mit einem Monotoniewechsel |
$\Rightarrow$ |
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt (mit einem Krümmungswechsel) |
Es ergibt sich das folgende Vorzeichenwechselkriterium für Wendepunkte.
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte (Vorzeichenwechselkriterium):
Wenn $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
Eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte mit höheren Ableitungen
Das folgende Applet zeigt eine Situation (Situation 1), in der folgende Bedingung erfüllt ist: $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$.
Zum Herunterladen: wendestellen_hinreichende_bedingung_hoehere_ableitungen.ggb
In einer solchen Situation muss $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel haben. Im Applet sieht man das, wenn man den Umgebungsschieberegler auf z.B. $u_2 = 0.5$ einstellt. Man kann dann das Vorzeichenwechselkriterium für Wendepunkte nutzen, um auf eine Wendestelle zu schließen. Im Applet kann man anschließend zur Verdeutlichung die Umgebungsschieberegler $u_1 = 0.5$ und $u_0 = 0.5$ einstellen.
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte (mit höheren Ableitungen)
Wenn $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
Wenn $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$ und wenn zusätzlich $f'(x) = 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.
Beachte:
Wenn $f''(x) = 0$ und $f'''(x) = 0$, dann kann man nicht entscheiden, ob an der Stelle $x$ ein Wendepunkt vorliegt.
Bestimmung von Wendepunkten mit dem Kriterium mit höheren Ableitungen
Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.
Beispiel
geg.: $f(x) = \frac{1}{324}x^4 - \frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{2}x + 2$
ges.: Wendepunkte von $f$
Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb
Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen
Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f''$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Wendepunkt vorliegen.
Die Ableitungsfunktion $f''(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln. Es gilt:
$f'(x) = \frac{1}{81}x^3 - \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{2}$
$f''(x) = \frac{1}{27}x^2 - \frac{2}{9}x$
Zur Bestimmung der Nullstellen von $f''$ muss die Bedingung $f''(x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:
$f''(x) = x \cdot (\frac{1}{27}x - \frac{2}{9})$
Aus dieser Produktdarstellung von $f''(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:
- $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $\frac{1}{27}x - \frac{2}{9} = 0$
- $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = 6$
Die kritischen Stellen für Wendepunkte sind demnach $x = 0$ und $x = 6$. Ob an diesen Stellen tatsächlich Wendepunkte vorliegen, lässt sich ohne weitere Informationen nicht klären.
Schritt 2: Die dritte Ableitung zur Entscheidung nutzen
Zuerst wird die Ableitungsfunktion $f'''$ bestimmt. Es gilt:
$f'''(x) = \frac{2}{27}x - \frac{2}{9}$
Wir nutzen jetzt die 3. Ableitung $f'''$, um Entscheidungen darüber zu treffen, ob an den Nullstellen von $f''$ Wendepunkte vorliegen.
| Stelle | $f''(x)$ | $f'''(x)$ | Eigenschaft von $f$ |
| $x = 0$ | $f''(0) = 0$ | $f'''(0) = -2/9 \neq 0$ | Wendepunkt |
| $x = 6$ | $f''(6) = 0$ | $f'''(6) = 2/9 \neq 0$ | Wendepunkt |
Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen
Man weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten dieser Punkte.
Zur Bestimmung der $y$-Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.
$f(0) = 2$: Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(0|2)$.
$f(6) = 1$: Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(6|1)$.
Schritt 4: Die Steigung im Wendepunkt bestimmen
Um zu entscheiden, ob die Wendepunkte Sattelpunkte sind, berechnen wir die Steigungen in den Wendepunkten.
Wendepunkt $(0|2)$: Es gilt $f'(0) = 1/2$. Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.
Wendepunkt $(6|1)$: Es gilt $f'(6) \approx -0.83$. Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.
