Vertiefung – Umkehrung des Vorzeichenwechselkriteriums
Zur Orientierung
Das Vorzeichenwechselkriterium besagt, dass man aus eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel bei der Ableitungsfunktion zu einem Extrempunkt bei der Ausgangsfunktion führt. Wir untersuchen hier, ob auch die Umkehrung gilt und man aus Extrempunkten der Ausgangsfunktion auf eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel bei der Ableitungsfunktion schließen kann.
Das Vorzeichenwechselkonzept präzisieren
Bisher haben wir den Begriff des Vorzeichenwechsels intuitiv benutzt und nicht weiter präzisiert. Für die folgenden Untersuchungen muss aber klar sein, was man unter einer Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel versteht.
Im folgenden Applet kann man die betrachtete Stelle $x$ mit dem roten Punkt auf der $x$-Achse hin und her bewegen. Mit dem Schieberegler $u_0$ kann man eine Umgebung um die betrachtete Stelle $x$ einstellen. Die Funktion $f$ wird dann nur in der Umgebung von $x$ dargestellt. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: begriff_vzw.ggb
Aufgabe 1
Verdeutliche anhand des Applets die folgende Präzisierung von Nullstellen mit Vorzeichenwechsel.
Nullstelle mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von plus nach minus (kurz: $+/-$-VZW) genau dann, wenn $f(x) = 0$ gilt und wenn in einer Umgebung $x - u_0 \lt z \lt x + u_0$ von $x$ gilt: Für $x - u_0 \lt z \lt x$ gilt $f(z) > 0$ und für $x \lt z \lt x + u_0$ gilt $f(z) \lt 0$.
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von minus nach plus (kurz: $-/+$-VZW) genau dann, wenn $f(x) = 0$ gilt und wenn in einer Umgebung $x - u_0 \lt z \lt x + u_0$ von $x$ gilt: Für $x - u_0 \lt z \lt x$ gilt $f(z) \lt 0$ und für $x \lt z \lt x + u_0$ gilt $f(z) > 0$.
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/+$-Verhalten genau dann, wenn $f(x) = 0$ gilt und wenn in einer Umgebung $x - u_0 \lt z \lt x + u_0$ von $x$ gilt: Für $x - u_0 \lt z \lt x$ gilt $f(z) > 0$ und für $x \lt z \lt x + u_0$ gilt ebenfalls $f(z) > 0$.
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/-$-Verhalten genau dann, wenn $f(x) = 0$ gilt und wenn in einer Umgebung $x - u_0 \lt z \lt x + u_0$ von $x$ gilt: Für $x - u_0 \lt z \lt x$ gilt $f(z) \lt 0$ und für $x \lt z \lt x + u_0$ gilt ebenfalls $f(z) \lt 0$.
Die Umkehrbarkeit des Vorzeichenwechselkriteriums untersuchen
Die Übersicht zeigt noch einmal exemplarisch, wie man mit Hilfe von Vorzeichenwechsel bei $f'$ auf Extrempunkte von $f$ schließt.
| Stelle / Intervall | Eigenschaft von $f'$ | Vorzeichenwechsel | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $x - u_0 \lt z \lt x$ | $f'(x) > 0$ | streng monoton steigend | |
| $x$ | $f'(x) = 0$ | $+/-$ VZW | Hochpunkt (mit einem Monotoniewechsel) |
| $x \lt z \lt x + u_0$ | $f'(x) \lt 0$ | streng monoton fallend |
Aufgabe 2
Das Vorzeichenwechselkriterium ist nicht umkehrbar. Wenn $f$ an der Stelle $x$ ein lokales Extremum hat, dann kann man daraus im Allgemeinen nicht schließen, dass $f$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat. Erläutere das am Gegenbeispiel im Applet.
Zum Herunterladen: gegenbeispiel_umkehrung_vzw.ggb
Aufgabe 3
Umkehrbarkeit erhält man, wenn man (wie hier im Schulbuch) nur Extrempunkte mit einem Monotoniewechsel betrachtet. Begründe den folgenden Zusammenhang.
Notwendige und hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte mit einem Monotoniewechsel
$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel genau dann, wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt mit einem Monotoniewechsel hat (von streng monoton steigend zu streng monoton fallend).
$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel genau dann, wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt mit einem Monotoniewechsel hat (von streng monoton fallend zu streng monoton steigend).
Voraussetzung
Der Satz gilt unter der Voraussetzung, dass $f$ an der Stelle $x$ differenzierbar ist.
