Erarbeitung – Begriffsklärung
Zur Orientierung
Wir führen hier präzise Begriffe ein, um das Steigen und Fallen von Funktionsgraphen zu charakterisieren.
Den Monotoniebegriff präzisieren
Mit dem Begriff streng monoton steigend erfasst man, dass $f(x)$ immer größer wird, wenn $x$ größer wird. Entsprechend beschreibt streng monoton fallend die Eigenschaft, dass $f(x)$ immer kleiner wird, wenn $x$ größer wird.
Im folgenden Applet sind für eine Beispielfunktion die Monotonieintervalle bereits gekennzeichnet. Die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ kann man auf dem Graph hin und her bewegen. Bearbeite die Aufgabe unterhalb des Applets.
Zum Herunterladen: monotonie_definition.ggb
Aufgabe 1
Ergänze in der formalen Definition die fehlenden Teile.
Monotonie bei Funktionen
Eine Funktion ist streng monoton fallend im Intervall $I$ genau dann, wenn für alle $x_1$ und $x_2$ aus $I$ gilt: Wenn $x_1 \text{ < } x_2$, dann gilt ...
Eine Funktion ist streng monoton steigend im Intervall $I$ genau dann, wenn ...
Begriffe zur Beschreibung lokaler Extrema einführen
Das Steigen und Fallen von Funktionsgraphen führt zu lokal maximalen oder minimalen Funktionswerten. Auch hierfür gibt es passende Fachbegriffe.
Bewege im folgenden Applet die rote Markierung entlang der $x$-Achse. An einigen Stellen werden Begriffe eingeblendet. Erläutere diese Begriffe.
Kläre dabei auch folgende Fragen: Was bezweckt man mit dem Zusatz lokal
bei z.B. lokalen Extrema
? Inwiefern
wird z.B. Extremstelle
als Oberbegriff benutzt?
Zum Herunterladen: begriffe_extrema.ggb
Zur genaueren Festlegung soll das folgende Applet verwendet werden. Mache dich mit dem Applet vertraut und bearbeite die Aufgaben darunter.
Anleitung für das Applet
- Im Applet ist der Graph einer Funktion $f$ dargestellt. Man kann zunächst aber nur einzelne Punkte des Graphen anzeigen, indem man den Schieberegler für die Stelle $x$ hin und her bewegt.
- Mit dem Schieberegler $u_0$ kann man den Graph in einer Umgebung der gewählten Stelle sichtbar machen. Wenn z.B. für $x = 1$ die Umgebungsbreite auf $u_0 = 0.2$ eingestellt ist, dann sieht man den Graph im Umgebungsintervall $0.8 \text{ < } x \text{ < } 1.2$ zur Stelle $x = 1$.
- Beachte: Jeder Strich auf der $x$-Achse und der $y$-Achse markiert $1$ Einheit.
Zum Herunterladen: lokale_extrema_definition.ggb
Aufgabe 2
Stelle im Applet die Umgebungsbreite $u_0 = 0.3$ ein. Ermittle, an welchen Stellen $x$ die vorgegebene Funktion $f$ ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum hat. Betrachte dabei nur die Stellen, die man mit dem Schieberegler für $x$ einstellen kann. Verdeutliche mithilfe des Applets folgende Begriffsdefinition.
Lokale Extrema
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ ein lokales Maximum genau dann, wenn es ein Umgebungsintervall $I$ zur Stelle $x$ gibt, so dass für alle Stellen $z \in I$ gilt: $f(x) \geq f(z)$. Eine Maximumstelle ist eine Stelle $x$, an der die Funktion ein lokales Maximum hat.
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ ein lokales Minimum genau dann, wenn es ein Umgebungsintervall $I$ zur Stelle $x$ gibt, so dass für alle Stellen $z \in I$ gilt: $f(x) \leq f(z)$. Eine Minimumstelle ist eine Stelle $x$, an der die Funktion ein lokales Minimum hat.
Lokale Maxima und lokale Minima werden auch lokale Extrema genannt. Eine Extremstelle ist eine Stelle $x$, an der die Funktion ein lokales Extremum hat.
Ein Hochpunkt von $f$ ist ein Punkt von Graph $f$, dessen $y$-Koordinate ein lokales Maximum darstellt.
Ein Tiefpunkt von $f$ ist ein Punkt von Graph $f$, dessen $y$-Koordinate ein lokales Minimum darstellt.
Ein Extrempunkt von $f$ ist ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt von $f$.
