Anwendungen der Kriterien

Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt den Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - 2 x^2 + 2$.

Im Koordinatensystem fehlt die Skalierung der Achsen. Rekonstruiere sie mit geeigneten Berechnungen.

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Aufgabe 2

Gegeben sind die Graphen der folgenden Funktionen:

• $f(x) = -0.5 x^3 + 1.5 x^2 + 2$
• $g(x) = -0.75 x^4 + 2 x^3 + 2$
• $h(x) = 0.5 x^3 - 1.5 x^2 + 2$

Aber, welcher Graph gehört zu welcher Funktion? Löse das Problem.

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Aufgabe 3

Beim Kugelstoßen soll eine schwere Metallkugel (Frauen: 4kg; Männer: 7.25kg) möglichst weit gestoßen werden. Das hast du bestimmt schon einmal ausprobiert.

Die Stoßweite hängt in erster Linie von der Geschwindigkeit ab, auf die man die Kugel beim Abstoß beschleunigen kann. Hierfür braucht man viel Kraft und eine gute Technik. Die Stoßweite hängt aber auch vom Abstoßwinkel ab. Genau diese Abhängigkeit soll hier untersucht werden. Geklärt werden soll die Frage: Gilt beim Kugelstoßen die Faustregel: je höher, desto weiter?

Mit dem Applet kannst du das direkt ausprobieren. Die Kugel wird hier immer mit derselben Ausgangsgeschwindigkeit von $13$ m/s gestoßen. Die Ausgangshöhe beträgt $1.80$ m (das ist die Höhe, in der die Kugel die Stoßhand verlässt).

Zum Herunterladen: kugelstossen.ggb

Für genauere Untersuchungen soll jetzt die maximale Höhe der Kugel und die erzielte Stoßweite bei verschiedenen Winkeln bestimmt werden. Im Applet ist jeweils die Funktion zur Beschreibung der Flugbahn eingeblendet. Benutze diese Funktionen bei deinen Berechnungen.

Abstoßwinkel	maximale Höhe	Stoßweite
$35°$
$40°$
$45°$
$50°$

Für die Nullstellenberechnungen kannst du das Gleichungstool benutzen.

Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb

Aufgabe 4

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{-\frac{1}{6}x^6 + -\frac{1}{6}x^6 + \frac{104}{25}x^5 -\frac{17301}{400}x^4 + \frac{359671}{1500}x^3 -\frac{1868821}{2500}x^2 + \frac{776622}{625}x - 521}$. Gesucht sind die Hoch- und Tiefpunkte dieser Funktion.

Der Graph dieser Funktion weist eine Art Plateau auf. Nur durch das Zeichnen des Graphen ist es hier unmöglich zu entscheiden, wo die Funktion ihre Hoch- und Tiefpunkte hat.

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Hier hilft jetzt die Theorie weiter. Nutze das Vorzeichenwechselkriterium, um die gesuchten Hoch- und Tiefpunkte der gegebenen Funktion zu bestimmen. Ein erster Schritt ist mit dem folgenden Gleichungstool bereits gemacht (warum?).

Zum Herunterladen: gleichungstool_plateau.ggb

Aufgabe 5

Quadratische Funktionen sind ganzrationale Funktionen vom Grad 2. Sie lassen sich allgemein so darstellen:

$f(x) = ax^2 +bx + c$ mit reellen Zahlen $a, b, c$, wobei $a \neq 0$ vorausgesetzt wird.

Mit dem Applet unter der Aufgabe kannst du die Vorfaktoren $a, b, c$ variieren und die zugehörigen Graphen erzeugen. Beachte, dass du den Fall $a = 0$ außer Acht lassen musst.

(a) Egal, wie man die Vorfaktoren $a, b, c$ mit $a \neq 0$ wählt, man erhält immer eine Funktion mit einem Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt). Prüfe das exemplarisch nach, indem du für die Werte $a = 2$, $b = -2$ und $c = -1$ den Extrempunkt mit einem geeigneten Verfahren selbst bestimmst.

(b) F. behauptet, dass der Extrempunkt einer ganzrationalen Funktion $f(x) = ax^2 +bx + c$ vom Grad $2$ (mit reellen Zahlen $a, b, c$, wobei $a \neq 0$) an der Stelle $x = -\frac{b}{2a}$ liegt. Überprüfe die Behauptung exemplarisch mit Hilfe des Applets.

(c) Jetzt wollen wir die Aussage aus (b) auch beweisen: Zeige mit den bekannten Verfahren, dass jede Funktion $f(x) = ax^2 +bx + c$ (mit reellen Zahlen $a, b, c$, wobei $a \neq 0$) einen Extrempunkt an der Stelle $x = -\frac{b}{2a}$ hat.

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Aufgabe 5

Wir betrachten hier ganzrationale Funktionen vom Grad 3. Das sind Funktionen der Gestalt $f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ mit reellen Zahlen $a_3, a_2, a_1, a_0$, wobei zusätzlich $a_3 \neq 0$ vorausgesetzt wird. Ziel dieser Aufgabe ist es, die folgende Frage zu klären: Wie sehen die Graphen ganzrationaler Funktionen vom Grad 3 aus?

(a) Begründe vorab: Wenn $f$ eine ganzrationale Funktion vom Grad $3$ ist, dann ist Graph $f'$ eine Parabel.

(b) Wir variieren die Lage der Parabel. Ergänze in der Tabelle jeweils den Graph der Ausgangsfunktion $f$.

Situation 1	Situation 2	Situation 3
Situation 4	Situation 5	Situation 6

(c) Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem Applet. Mit dem Schieberegler im unteren Fenster kannst du Graph $f'$ variieren. Zusätzlich kannst du den Scheitelpunkt der Parabel nach oben und unten bewegen. Es ergeben sich hierdurch verschiedene Typen von Graphen. Die $y$-Achse wurde im Applet weggelassen, da sie für die Argumentationen keine Rolle spielz. Mit dem Punkt im oberen Fenster kannst du die Lage der $x$-Achse variieren. Auch diese Lage spielt für die Argumentationen hier keine Rolle.

Zum Herunterladen: grad3.ggb