Erarbeitung
Zur Orientierung
Wie kann man mit Hilfe der Ableitung lokale Extrema bestimmen? Im letzten Abschnitt hast du dich anhand des folgenden Applets mit dieser Frage auseindergesetzt.
Zum Herunterladen: lokale_extrema_notwendige_bedingung2.ggb
Mit den punktuellen Informationen kann man erschließen, dass die vorgegebene Funktion maximal $3$ lokale Extrema hat. Stelle zur Kontrolle den Schieberegler $u_0$ so ein (z.B. auf $u_0 = 0.5$), dass man den Verlauf von Graph $f$ in einer Umgebung des eingestellten $x$-Werts gut erkennen kann. Erläutere die Zusammenhänge.
Einen Zusammenhang präzise formulieren
Die folgende Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$ in einem bestimmten Bereich verlaufen. Der blaue Punkt in den Graphen von $f$ lässt sich verschieben, um den Graphen von $f'$ zu erzeugen.
Aufgabe 1
Ergänze in der Tabelle in den beiden unteren Zeile die folgenden Aussagen, so dass sie zur jeweiligen Situation passen. Beachte, dass einige Aussagen mehrfach verwendet werden müssen.
- $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
- $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
- $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.
- $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle.
| Situation 1 | Situation 2 | Situation 3 | Situation 4 |
|---|---|---|---|
| $f$ hat ... | ... | ... | ... |
| $\Downarrow$ | $\Downarrow$ | $\Downarrow$ | $\Downarrow$ |
| $f'$ hat ... | ... | ... | ... |
Achtung
Die Tabelle ist recht breit. Im Tablet muss man ggf. das Menu an der rechten Seite ausblenden, um alle Applets ausführen zu können. Nutze hierfür den Doppelpfeil-Button im grünen o-mathe-Balken oben.
Aufgabe 2
Den Zusammenhang zwischen Extrempunkten von Graph $f$ und Nullstellen von Graph $f'$ muss man präzise formulieren. Wir verwenden hierzu ein in der Mathematik gängiges Formulierungsmuster – die Wenn-Dann-Aussage.
(a) Wenn-Dann-Aussagen werden in der Mathematik oft mit dem Folgerungspfeil $\Rightarrow$ dargestellt. Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: „Wenn ..., dann folgt daraus, dass ...“).
| Eigenschaft von $f$ | hieraus folgt | Eigenschaft von $f'$ (notwendige Bedingung) |
|---|---|---|
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. | $\Rightarrow$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$. |
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. | $\Rightarrow$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$. |
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt. | $\Rightarrow$ | $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle, d.h.: $f'(x) = 0$. |
(b) Erläutere, warum man die Dann-Teilaussage als notwendige Bedingung zur Wenn-Teilaussage bezeichnet.
(c) Begründe, warum die folgende Wenn-Dann-Aussage falsch ist.
Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt.
(d) Wenn die notwendige Bedingung an einer Stelle $x$ erfüllt ist, so nennt man $x$ eine kritische Stelle. Erkläre, was man damit meint.
Aufgabe 4
Sichere die Zusammenhänge im Wissensspeicher.
Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte
Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ ...
Voraussetzung
Der Satz gilt unter der Voraussetzung, dass $f$ an der Stelle $x$ differenzierbar ist.
Beachte
Die Umkehrung Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt.
ist falsch.
Die Nullstellen von $f'$ liefern somit nur die kritischen Stellen, an denen Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen können aber nicht müssen.
Anschauliches Vorgehen
Beachte, dass wir die notwendige Bedingung für Extrempunkte anschaulich und ausgehend von Beispielen erschlossen haben. Wir verzichten hier auf einen formalen Beweise.
Eine Folgerung aus der notwendigen Bedingung ziehen
Mit der notwendigen Bedingung für Extrempunkte kann jetzt eine Aussage über die maximale Anzahl von Extrempunkten bei ganzrationalen Funktionen herleiten.
Aufgabe 5
(a) Wie viele Extrempunkte kann eine ganzrationale Funktion vom Grad n haben? Entwickle eine Argumentationskette mit der folgenden Argumentationsbasis (das sind bereits bekannte Zusammenhänge).
- Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen. (Nullstellensatz für ganzrationale Funktionen)
- Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Extrempunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle. (Notwendige Bedingung für lokale Extrema)
- Wenn man einen ganzrationale Funktion vom Grad $n$ ableitet, erhält man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n-1$. (Ableitung ganzrationaler Funktionen)
Formuliere deine Argumentation möglichst präzise. Nutze dabei Formulierungen wie z.B. „Aus Satz ... folgt, dass ...“
(b) Formuliere das Ergebnis als neuer (nachgewiesener) Satz.
Anzahl der Extrempunkte einer ganzrationalen Funktion
Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens ... Extrempunkte.
(c) Überprüfe exemplarisch die Aussage im Satz mit dem Applet.
Zum Herunterladen: ganzrational_grad5.ggb
