Abstandsbestimmung mit einer Projektion

Das Skalarprodukt als Projektion deuten

Im Kapitel Geometrische Deutung des Skalarprodukts wird das Skalarprodukt geometrisch als Projektion gedeutet.

Zum Herunterladen: skalarprodukt5.ggb

Aufgabe 1

Mache dir anhand dem Applet nochmal folgende Zusammenhänge klar:

(a) Der Vektor $\overrightarrow{a}$ wird hier in zwei Teilvektoren aufgespalten. Die beiden Teilvektoren entstehen, indem man $\overrightarrow{a}$ orthogonal auf $\overrightarrow{b}$ projiziert. D.h.:

• Der Vektor $\overrightarrow{a_{\perp }}$ ist orthogonal zum Vektor $\overrightarrow{b}$.
• Der Vektor $\overrightarrow{a_{\parallel }}$ ist parallel zum Vektor $\overrightarrow{b}$.
• Beide Teilvektoren addiert ergeben $\overrightarrow{a}$. Also: $\overrightarrow{a_{\parallel }}+\overrightarrow{a_{\perp }}=\overrightarrow{a}$.

(b) Es gilt:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a_{\parallel }}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a_{\parallel }}|\cdot |\overrightarrow{b}|$

Eine Projektion zur Abstandsbestimmung nutzen

Wir erweitern im Applet die geometrische Konstellation um eine Gerade$g$, die orthogonal zum Vektor $\overrightarrow{b}$ ist:

Zum Herunterladen: skalarprodukt6.ggb

Aufgabe 2

Variiere den Vektor $\overrightarrow{b}$ so, dass er den Betrag 1 hat (d.h. die Länge des Vektorpfeils beträgt dann 1). Du kannst hierzu den Endpunkt des Vektorpfeils bewegen und musst gleichzeitig die Betragsangabe im oberen Fenster beobachten.

(a) Was fällt auf? Formuliere die Beobachtung. In dem Satz sollten möglichst die Begriffe "Skalarprodukt" und "Abstand" vorkommen.

Wenn man $\overrightarrow{b}$ so wählt, dass $|\overrightarrow{b}|=1$ gilt, dann ...

(b) Begründe mit den Eigenschaften des Skalarprodukts, warum das so ist. Das Applet hilft dir dabei.