Lösestrategie

Eine Problemreduktion nutzen

Wir betrachten weiterhin eine Situation, in der zwei Ebenen $E_1$ und $E_2$ sich (in einer Geraden) schneiden.

Die Ebenen $E_1$ und $E_2$ sind jeweils mit einem Stützpunkt $P_1$ bzw. $P_2$ und einem Normalenvektor $\overrightarrow{n_1}$ bzw. $\overrightarrow{n_2}$ festgelegt.

Zum Herunterladen: winkel_ebenen2.ggb

Bei der Winkelberechnung kann man hier folgendermaßen vorgehen. Der Winkel zwischen $E_1$ und $E_2$ ist genauso groß wie der Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$. Das erkennt man daran, dass der Winkel zwischen $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$ durch eine Drehung um 90° aus dem Winkel zwischen $E_1$ und $E_2$ entsteht. Es reicht demnach, den Winkel zwischen $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$ zu bestimmen.

$w(E_1,E_2)=w(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{n_2})$

Aufgabe 1

Berechne - wenn nicht bereits geschehen - für die vorgegebenen Daten den Winkel zwischen $E_1$ und $E_2$ mit der beschriebenen Vorgehensweise.

Aufgabe 2

Wir variieren die Vektoren in der Beschreibung von $E_1$ und $E_2$. Berechne den Winkel erneut und deute das Ergebnis.

(a) Version 1

$E_1$: $[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 0\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right)=0$

$E_2$: $[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 6\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)=0$

(b) Version 2

$E_1$: $[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 0\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -4\end{array}\right)=0$

$E_2$: $[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 6\end{array}\right)]\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 2\end{array}\right)=0$