Zusammenfassung - Abstandsberechnung mit dem Skalarprodukt
Den Abstand eines Punktes von einer Ebene mit dem Skalarprodukt bestimmen
Betrachte das folgende Problem:
Gegeben ist eine Ebene $E: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0$ mit einer Ebenengleichung in Normalenform sowie ein Punkt $X$.
Gesucht ist der Abstand $d(X, E)$ vom Punkt $X$ zur Ebene $E$.
Zum Herunterladen: abstand_punkt_ebene1.ggb
Das Applet verdeutlicht, wie man beim Problemlösen vorgehen kann.
Zunächst bestimmt man einen Normaleneinheitsvektor $\vec{n_0}$ zum vorgebenen Normalenvektor: $\vec{n_0} = \dfrac{1}{|\vec{n}|} \cdot \vec{n}$. Für den Normaleneinheitsvektor gilt dann $|\vec{n_0}| = 1$.
Es sind jetzt zwei Fälle zu unterscheiden:
Fall 1: $\overrightarrow{PX}_{\parallel}$ und $\vec{n_0}$ sind gleich gerichtet.
$\overrightarrow{PX} \cdot \vec{n_0} = \overrightarrow{PX}_{\parallel} \cdot \vec{n_0} = |\overrightarrow{PX}_{\parallel}| \cdot |\vec{n_0}| = |\overrightarrow{PX}_{\parallel}|$
Fall 2: $\overrightarrow{PX}_{\parallel}$ und $\vec{n_0}$ sind entgegengesetzt gerichtet.
$\overrightarrow{PX} \cdot \vec{n_0} = \overrightarrow{PX}_{\parallel} \cdot \vec{n_0} = -|\overrightarrow{PX}_{\parallel}| \cdot |\vec{n_0}| = -|\overrightarrow{PX}_{\parallel}|$
Da $|\overrightarrow{PX}_{\parallel}|$ dem gesuchten Abstand entspricht, erhält man folgendes Ergebnis:
Satz:
Ist eine Ebene $E: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0$ mit einer Ebenengleichung in Normalenform gegeben, so gilt für den Abstand eines Punktes $X$ von der Ebene $E$:
$d(X, E) = |\overrightarrow{PX} \cdot \vec{n_0}| = |(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n_0}|$
Beispiel:
Gegeben ist eine Ebene $E$ mit folgender Ebenengleichung:
$E$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
Gesucht ist der Abstand des Punktes $X(3|-2|1)$ zur Ebene $E$.
Es gilt:
$d(X, E) = |(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n_0}| = \left|\left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ -1 \end{array}\right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\right| = \left| \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot (-4) \right| \approx 1.79$
Die Ebenengleichung auf Abstandsbestimmungen vorbereiten
Wenn man bereits vorhat, mit Abstände zu einer Ebene zu bestimmen, dann ist es zweckmäßig, die Ebenengleichung bereits passend hierzu zu wählen. Günstig ist es, direkt einen Normaleneinheitsvektor zu wählen.
Definition:
Eine Ebenengleichung der Gestalt $E: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n_0} = 0$ mit einem Normaleneinheitsvektor $\vec{n_0}$ nennt man Hesse´sche Normalenform.
Beispiel:
Gegeben ist eine Ebene $E$ mit folgender Ebenengleichung:
$E$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right) = 0$
Gesucht ist eine zugehörige Ebenengleichung in Hesse´scher Normalenform.
Mit $\vec{n_0} = \dfrac{1}{\sqrt{25}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0.6 \\ 0.8 \end{array}\right)$ erhält man:
$E$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0.6 \\ 0.8 \end{array}\right) = 0$
