Definition des Skalarprodukts
Ein Produkt aus Vektoren
Im letzten Kapitel hast du gesehen, dass es zur Klärung von Orthogonalitätsfragen günstig ist, das folgende Produkt von Vektoren einzuführen.
Definition:
2D-Fall:
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array}\right)$
berechnet man folgendermaßen:
$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array}\right) = a_1b_1 + a_2b_2$
3D-Fall:
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)$
berechnet man folgendermaßen:
$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
Beispiele:
$\left(\begin{array}{c} 1 \\ -4 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right) = 1 \cdot 4 + (-4) \cdot 1 = 4 + (-4) = 0$
$\left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ -4 \end{array}\right) = 0 \cdot 0 + (-4) \cdot (-4) + 0 \cdot (-4)= 16$
Aufgabe 1
Berechne selbst zwei weitere Beispiele:
(a) $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \end{array}\right) = ...$
(b) $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) = ...$
Was bedeutet "skalar"?
In dem Wort "Skalarprodukt" steckt neben der Bezeichnung "Produkt" noch der Zusatz "skalar". Was hat es damit auf sich? Kläre das in den folgenden Aufgaben.
Aufgabe 2
"Skalar" bedeutet so viel wie "Zahl". Beschreibe den fundamentalen Unterschied zwischen den Rechenoperationen "Addition" und "Skalarprodukt", wenn man den Fokus auf das Rechenergebnis lenkt.
Addition:
$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1+1 \\ 1+3 \\ 2+(-1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)$
Skalarprodukt:
$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1)= 1 + 3 -2 = 2$
Aufgabe 3
Du hast auch schon die "skalare Multiplikation" eines Vektors mit einer Zahl kennen gelert. Beschreibe den Unterschied zum Skalarprodukt von zwei Vektoren.
sklare Multiplikation:
$3 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3\cdot 1 \\ 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot (-1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 9 \\ -3 \end{array}\right)$
Skalarprodukt:
$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1)= 1 + 3 -2 = 2$
