Vereinfachung der Orthogonalitätsüberprüfung

Orthogonalität mit dem Satz des Pythagoras überprüfen

Wir betrachten noch einmal die Situation im Konzerthausentwurf.

Gegeben sind die Vektoren $\overrightarrow{AE}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ -4\end{array}\right)$.

Überprüft werden soll, ob $\overrightarrow{AE}\perp \overrightarrow{AB}$ gilt.

Das Applet verdeutlicht das Vorgehen.

Zum Herunterladen: orthovektoren6.ggb

Aufgabe 1

Erkläre die Berechnungen im Applet.

Eine vereinfachte Orthogonalitätsbedingung entwickeln

Wir betrachten jetzt den Fall, dass zwei beliebige Vektoren vorgegeben sind. Die zugehörigen Pfeile sind so angeordnet, dass sie ein Dreieck aufspannen.

Zum Herunterladen: orthovektoren4.ggb

Aufgabe 2

Erläutere jeden Umformungsschritt.

$\begin{array}{lcl}|\overrightarrow{a}{|}^2& =& {\left(\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\right)}^2\\ & =& a_1^2+a_2^2+a_3^2\end{array}$

$\begin{array}{lcl}|\overrightarrow{b}{|}^2& =& {\left(\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}\right)}^2\\ & =& b_1^2+b_2^2+b_3^2\end{array}$

$\begin{array}{lcl}|\overrightarrow{c}{|}^2& =& {\left(\sqrt{(b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2+(b_3-a_3{)}^2}\right)}^2\\ & =& (b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2+(b_3-a_3{)}^2\\ & =& (b_1^2-2b_1{a}_1+a_1^2)+(b_2^2-2b_2{a}_2+a_2^2)+(b_3^2-2b_3{a}_3+a_3^2)\\ & =& (a_1^2+a_2^2+a_3^2)+(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-2(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3)\end{array}$

Aufgabe 3

Erläutere auch hier jeden Umformungsschritt.

Es gilt also:

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

$\iff$

$|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2=|\overrightarrow{c}{|}^2$

$\iff$

$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)+(b_1^2+b_2^2+b_3^2)=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)+(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-2(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3)$

$\iff$

$0=-2(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3)$

$\iff$

$a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$

Die vereinfachte Orthogonalitätsbedingung anwenden

Die Vektoren $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)$ sind demnach orthogonal (kurz $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$) genau dann, wenn die Bedingung $a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$ erfüllt ist.

Aufgabe 4

Gegeben sind die Vektoren $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AE}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}0\\ 10\\ -4\end{array}\right)$.

Nutze die Bedingung $a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$, um im vorliegenden Beispiel zu überprüfen, ob die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ orthogonal sind. Ergänze hierzu die Berechnung und ziehe eine Schlussfolgerung.

$a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=...$

Aufgabe 5

Überprüfe analog, ob $\overrightarrow{AE}\perp \overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AB}$ gilt.